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北海道大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

実数xに対してk≦x<k+1を満たす整数kを[x]で表す．
たとえば，[2]=2，[52]=2，[−2.1]=−3である．

(1) n2−n−54<0を満たす整数nをすべて求めよ．

(2) [x]2−[x]−54<0を満たす実数xの範囲を求めよ．

(3) xは(2)で求めた範囲にあるものとする．
x2−[x]−54=0を満たすxをすべて求めよ．

難易度4/ 10計算量3/ 10目安14分

方程式・不等式、関数　場合分け、範囲評価、同値変形

方針

(1) は二次不等式の解区間を求め、その中に入る整数を拾う。(2) は整数部分 [x] を整数として (1) の結果を使い、[x]=0,1 を x の区間へ戻す。(3) は [x]=0 と [x]=1 に分けて方程式を解き、候補が対応する区間に入っているかを確認する。

解答

(1)
方程式 n2−n−54=0 の解は n=1±1+52=1±62 である。二次式の係数は正なので、1−62<n<1+62 のときに不等式 n2−n−54<0 が成り立つ。

ここで −1<1−62<0,1<1+62<2 であるから、この範囲に入る整数は n=0,1 である。

(2)
[x] は整数であるから、(1)より [x]2−[x]−54<0 をみたすには [x]=0,1 であることが必要十分である。

[x]=0 は 0≦x<1 を意味し、[x]=1 は 1≦x<2 を意味する。したがって求める範囲は 0≦x<2 である。

(3)
(2)より [x]=0 または [x]=1 である。

まず [x]=0 のとき、0≦x<1 であり、方程式は x2−54=0 となる。候補は x=5/2 であるが、52>1 なので 0≦x<1 をみたさない。したがってこの場合に解はない。

次に [x]=1 のとき、1≦x<2 であり、方程式は x2−1−54=0 すなわち x2=94 となる。x は正なので x=32 であり、これは 1≦x<2 をみたす。

よって求める解は x=32 である。

総評

整数部分の候補を二次不等式で絞り、最後に区間条件で確認する問題である。目安時間は14分。形式的に方程式を解くと [x]=0 の場合にも候補が出るが、その候補は 0≦x<1 に入らない。整数部分の問題では、候補の検算までを答案に含めると安定する。

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出典: 北海道大学 2011年度 前期 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。