北海道大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
直接計算すると$$A^2={\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+bc& b(a+d)\\ c(a+d)& d^2+bc\end{array}\right)$$である。

(i)より $a+d=0,ad-bc=0$ である。$d=-a$ であり、$ad=bc$ だから $-a^2=bc$ である。したがって $$a^2+bc=0,d^2+bc=a^2+bc=0$$ であり、さらに $b(a+d)=c(a+d)=0$ である。よってすべての成分が0となり、$A^2=O$ である。

(2)
2次正方行列$$X=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{array}\right),Y=\left(\begin{array}{cc}{\alpha }^{\mathrm{\prime }}& {\beta }^{\mathrm{\prime }}\\ {\gamma }^{\mathrm{\prime }}& {\delta }^{\mathrm{\prime }}\end{array}\right)$$について、成分を直接計算すると $\det (XY)=\det X\det Y$ が成り立つ。したがって $\det (A^n)=(\det A{)}^n$ である。

いま (iii) より、ある自然数 $n$ に対して $A^n=O$ である。零行列の行列式は0だから $$0=\det (A^n)=(\det A{)}^n=(ad-bc{)}^n$$ である。よって $ad-bc=0$ である。

(3)
(2)より $ad-bc=0$ である。この条件のもとで $A^2$ をもう一度見ると、$bc=ad$ だから$$A^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+ad& b(a+d)\\ c(a+d)& d^2+ad\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a(a+d)& b(a+d)\\ c(a+d)& d(a+d)\end{array}\right)=(a+d)A$$である。

もし $A=O$ なら、もちろん $a+d=0$ かつ $ad-bc=0$ であり、(i) が成り立つ。以下では $A\mathrm{\ne }O$ とする。

$A^2=(a+d)A$ から、帰納的に $$A^m=(a+d{)}^{m-1}A(m\geqq 1)$$ が成り立つ。実際、$m$ で成り立つとすれば $$A^{m+1}=A^{m}A=(a+d{)}^{m-1}{A}^2=(a+d{)}^{m}A$$ である。

(iii)より、ある自然数 $n$ で $A^n=O$ である。$A\mathrm{\ne }O$ なので、上の式から $(a+d{)}^{n-1}=0$ となる。したがって $a+d=0$ である。これと (2) の $ad-bc=0$ を合わせると (i) が成り立つ。