熊本大学 2021年度 前期数学③ 第3問

(問1)
曲線は $x^2-y^2=1$，$x>0$。したがって$$M{P}^2=x^2+(y-1{)}^2=2{(y-\frac{1}{2})}^2+\frac{3}{2}\mathrm{.}$$最小は $y=\frac{1}{2}$。$u=e^t$ とおくと $u-u^{-1}=1$，すなわち $u^2-u-1=0$。よって$$t_0=\log \frac{1+\sqrt{5}}{2}\mathrm{.}$$(問2)$$Q=(\frac{\sqrt{5}}{2},\frac{1}{2})$$。接線は $y=\sqrt{5}x-2$，$x$ 軸との交点は $x=\frac{2}{\sqrt{5}}$。接線と $x$ 軸の三角形の面積は $\frac{\sqrt{5}}{40}$。また$${\int }_1^{\sqrt{5}\mathrm{/}2}\sqrt{x^2-1}dx={\int }_0^{t_0}{\left(\frac{e^t-e^{-t}}{2}\right)}^{2}dt=\frac{\sqrt{5}}{8}-\frac{t_0}{2}\mathrm{.}$$したがって$$[D]=\frac{1}{2}\log \frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{\sqrt{5}}{10}\mathrm{.}$$(問3)
$0\leqq y\leqq \frac{1}{2}$ で，右端は $$x=\sqrt{1+y^2}$$，左端は $$x=\frac{y+2}{\sqrt{5}}$$。よって体積は$$\pi {\int }_0^{1\mathrm{/}2}\{1+y^2-{\left(\frac{y+2}{\sqrt{5}}\right)}^2\}dy=\frac{\pi }{30}\mathrm{.}$$

媒介表示から $x^{\mathrm{\prime }}=y,y^{\mathrm{\prime }}=x$ を読み、距離の平方を $t$ で微分する。面積は接線下の三角形から曲線下を引き、回転体積は $x$ 軸方向の縦切片を円筒殻として積分する。

(問1)
媒介表示から$$x^2-y^2=1,\frac{dx}{dt}=y,\frac{dy}{dt}=x$$である。距離の平方を $R(t)=M{P}^2$ とすると$$R(t)=x^2+(y-1{)}^2$$であり$$R^{\mathrm{\prime }}(t)=2xy+2(y-1)x=2x(2y-1)$$となる。常に $x>0$ で、$y$ は $t$ とともに増加するから、最小は $y=1\mathrm{/}2$ のときである。$u=e^t>0$ と置くと$$\frac{1}{2}(u-u^{-1})=\frac{1}{2}$$より $u^2-u-1=0$ である。したがって$$t_0=\log \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$である。

(問2)
$Q$ では $y=1\mathrm{/}2$ かつ $x^2-y^2=1$ なので$$Q=(\frac{\sqrt{5}}{2},\frac{1}{2})$$である。接線の傾きは$$\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}=\sqrt{5}$$だから$$l:y=\sqrt{5}x-2$$である。$x$ 軸との交点は $x=2\mathrm{/}\sqrt{5}$ で、接線と $x$ 軸が作る三角形の面積は$$\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{2}{\sqrt{5}})\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{40}$$である。曲線下の面積は媒介変数を用いて$${\int }_1^{\sqrt{5}\mathrm{/}2}ydx={\int }_0^{t_0}{y}^{2}dt=\frac{\sqrt{5}}{8}-\frac{t_0}{2}$$である。したがって$$[D]=\frac{t_0}{2}-\frac{\sqrt{5}}{10}=\frac{1}{2}\log \frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{\sqrt{5}}{10}$$となる。

(問3)
$y$ 軸回転を円筒殻で求める。$2\mathrm{/}\sqrt{5}\leqq x\leqq 1$ では高さが $\sqrt{5}x-2$、$1\leqq x\leqq \sqrt{5}\mathrm{/}2$ では高さが $\sqrt{5}x-2-\sqrt{x^2-1}$ である。よって$$V=2\pi \{{\int }_{2\mathrm{/}\sqrt{5}}^{1}x(\sqrt{5}x-2)dx+{\int }_1^{\sqrt{5}\mathrm{/}2}x(\sqrt{5}x-2-\sqrt{x^2-1})dx\}$$である。2つの接線部分をまとめると$${\int }_{2\mathrm{/}\sqrt{5}}^{\sqrt{5}\mathrm{/}2}x(\sqrt{5}x-2)dx=\frac{7}{120}$$であり$${\int }_1^{\sqrt{5}\mathrm{/}2}x\sqrt{x^2-1}dx=\frac{1}{24}$$である。したがって$$V=2\pi (\frac{7}{120}-\frac{1}{24})=\frac{\pi }{30}$$を得る。