熊本大学 2026年度 前期数学② 第3問

(問1)
多項式 $h$ の $x=k$ における零点の重複度を ${\nu }_k(h)$ と書く。有限な極限$$\underset{x\to k}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=0$$が成り立つためには ${\nu }_k(f)>{\nu }_k(g)$ が必要である。

$g(2)=0$ より ${\nu }_2(g)\geqq 1$ であり，$k=2$ の条件から ${\nu }_2(f)\geqq 2$ である。また $k=3$ の条件から ${\nu }_3(f)\geqq 1$ である。$f$ は3次で最高次係数が1だから，これらで次数を使い切り，$$f(x)=(x-2{)}^2(x-3)$$と一意に決まる。同時に $g$ の $x=2$ の零点は1重である。

そこで$$g(x)=(x-2)(x^2+px+q)$$とおく。$f(4),f(5)\mathrm{\ne }0$ なので $g(4),g(5)\mathrm{\ne }0$ であり，極限は値の比に等しい。条件より$$f(4)=2g(4),f(5)=6g(5)\mathrm{.}$$$f(4)=4,f(5)=18$ だから $g(4)=2,g(5)=3$ である。よって$$16+4p+q=1,25+5p+q=1$$となり，$p=-9,q=21$ を得る。したがって$$g(x)=(x-2)(x^2-9x+21)$$である。

(問2)$$\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{x^2-9x+21}{(x-2)(x-3)}=1-\frac{7}{x-2}+\frac{3}{x-3}$$である。区間 $[4,5]$ には特異点がないので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_4^5\frac{g(x)}{f(x)}dx}& {\displaystyle ={[x-7\log (x-2)+3\log (x-3)]}_4^5}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-7\log 3+10\log 2.}\end{array}$$