熊本大学 2019年度 前期 関数・微分文系数学 第3問

(問1)
$y=f(x)$ が $x$ 軸に接するから，二次方程式 $x^2+ax+b=0$ は重解をもつ。よって$$a^2-4b=0$$である。また直線 $y=2x+3$ に接するから$$f(x)-(2x+3)=x^2+(a-2)x+b-3$$も重解をもつ。したがって$$(a-2{)}^2-4(b-3)=0$$である。$$b={\displaystyle \frac{a^2}{4}}$$ を代入すると$$(a-2{)}^2-a^2+12=0$$より $a=4$ であり，$b=4$ である。

このとき$$f(x)=(x+2{)}^2,f(x)-(2x+3)=(x+1{)}^2$$である。放物線と $x$ 軸の接点は $(-2,0)$，直線と $x$ 軸の交点は $(-{\displaystyle \frac{3}{2}},0)$，放物線と直線の接点は $(-1,1)$ である。よって求める面積は$${\int }_{-2}^{-3\mathrm{/}2}(x+2{)}^{2}dx+{\int }_{-3\mathrm{/}2}^{-1}(x+1{)}^{2}dx$$である。これを計算して$$\frac{1}{24}+\frac{1}{24}=\frac{1}{12}$$となる。

$x$ 軸との接点を $(r,0)$ と置いて $f(x)=(x-r{)}^2$ と表す。もう一方の接線の傾きから接点を決め、図で境界の切替点を確認して二つの合同な積分へ分ける。

$x$ 軸との接点を $(r,0)$ とすると、最高次係数が1だから$$\begin{array}{cccc}& f(x)=(x-r{)}^2\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$直線 $y=2x+3$ との接点の $x$ 座標を $s$ とする。接線の傾きが2なので$$f^{\mathrm{\prime }}(s)=2(s-r)=2,s=r+1.$$接点では $f(s)=1$ であり、直線上でもあるから$$1=2s+3=2(r+1)+3.$$したがって $r=-2$、$s=-1$ で、$$f(x)=(x+2{)}^2=x^2+4x+4.$$よって $a=4,b=4$ である。

直線と $x$ 軸の交点は $x=-3\mathrm{/}2$ である。図の左側では $t=x+2$、右側では $u=-x-1$ と置くと、どちらの面積も$${\int }_0^{1\mathrm{/}2}{z}^{2}dz=\frac{1}{24}$$となる。したがって全体の面積は$$2\cdot \frac{1}{24}=\frac{1}{12}\mathrm{.}$$