京都大学 1989年度後期日程第2次学力試験文系（後期）数学第4問

$a$ ， $b$ は，ともに0でない実数で， $A = (\begin{array}{cc} a & b \\ b & a \end{array})$ とおく．

$O$ を原点とする座標平面において，点 $P (x, y)$ が単位円 $x^{2} + y^{2} = 1$ の周上を動く．
また，点 $Q (x^{'}, y^{'})$ を $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = A (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$ によって定める．
このとき， $△ O P Q$ の面積の最大値を求めよ．

難易度5/ 10計算量4/ 10目安10分

行列、ベクトル　ベクトル成分計算、面積計算、範囲評価

方針

三角形 $O P Q$ の面積を二つの位置ベクトルの行列式で表す。 $Q = A P$ を代入すると $a$ の項が消え、 $∣ x^{2} - y^{2} ∣$ の最大だけを調べればよい。

解答

点 $P = (x, y)$ に対して $Q = (a x + b y, b x + a y)$ である。三角形 $O P Q$ の面積 $S$ は $\begin{aligned} S & = \frac{1}{2} ∣ x (b x + a y) - y (a x + b y) ∣ \\ = \frac{∣ b ∣}{2} ∣ x^{2} - y^{2} ∣ . \end{aligned}$ 単位円上では $x^{2} + y^{2} = 1$ だから $∣ x^{2} - y^{2} ∣ ≦ x^{2} + y^{2} = 1.$ 等号は $P = (\pm 1, 0)$ または $P = (0, \pm 1)$ のときに成り立つ。したがって求める最大値は $\frac{∣ b ∣}{2} .$

総評

目安は10分。面積を行列式で置けば、対角成分 $a$ が相殺される。最大値が $∣ b ∣ / 2$ なので、 $b$ の符号を落として $b / 2$ としないこと。等号点を一つ示して上界が実現することまで確認する。

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出典: 京都大学 1989年度後期文系・理系第4問（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

京都大学 1989年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

方針

解答

総評

京都大学 1989年度後期日程第2次学力試験文系（後期）数学第4問