京都大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)

$(x,y)$ が $f$ により $(X,Y)$ に移るとすると $$X=x-y,Y=-2x+2y=-2(x-y)$$ である。したがって $Y=-2X$ すなわち $${\displaystyle 2X+Y=0}$$ を満たす。逆に，直線 $2X+Y=0$ 上の点は $(X,-2X)$ と書け，これは例えば $(X,0)$ を $f$ で移した点である。よって $f$ により得られる点全体は $${\displaystyle l:2x+y=0}$$ である。

(2)

次に $g$ を求める。直線 $l$ は原点を通り，方向ベクトルを $(1,-2)$ と取れる。点 $P(x,y)$ から $l$ へ下ろした垂線の足を $Q$ とすると，$Q$ は $(1,-2)$ 方向への正射影であるから $$Q=\frac{x-2y}{1^2+(-2{)}^2}(1,-2)=\frac{x-2y}{5}(1,-2)$$ である。したがって $$Q=(\frac{x-2y}{5},-\frac{2(x-2y)}{5})$$ である。 $f$ によって $Q$ に移る点 $(u,v)$ は $$u-v=\frac{x-2y}{5}$$ を満たす。この直線上で原点からの距離 $u^2+v^2$ が最小となる点を求める。条件 $$u-v=q,q=\frac{x-2y}{5}$$ のもとで考えると，直線 $u-v=q$ に原点から垂線を下ろした足が最短の点である。直線の法線方向は $(1,-1)$ なので，その点は $$(u,v)=(\frac{q}{2},-\frac{q}{2})$$ である。したがって $$g(x,y)=(\frac{x-2y}{10},-\frac{x-2y}{10})$$ となる。

(3)

最後に合成を確認する。$u=x-y$ とおくと $f(x,y)=(u,-2u)$ である。これに $g$ を作用させると$$g(f(x,y))=g(u,-2u)=(\frac{u-2(-2u)}{10},-\frac{u-2(-2u)}{10})=(\frac{u}{2},-\frac{u}{2})$$である。さらに $f$ を作用させると $$f(\frac{u}{2},-\frac{u}{2})=(u,-2u)=f(x,y)$$ となる。よって $${\displaystyle f\circ g\circ f=f}$$ である。

また $$g(x,y)=(v,-v),v=\frac{x-2y}{10}$$ とおくと $$f(g(x,y))=f(v,-v)=(2v,-4v)$$ である。さらに $g$ を作用させると $$g(2v,-4v)=(\frac{2v-2(-4v)}{10},-\frac{2v-2(-4v)}{10})=(v,-v)$$ である。したがって $${\displaystyle g\circ f\circ g=g}$$ も成り立つ。