京都大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $\vec{u}=(x,y)$、$\vec{v}=(s,t)$ とおく。このとき $$f(\vec{u})=(ax+by,cx+dy)$$ であるから $$f(\vec{u})\cdot \vec{v}=(ax+by)s+(cx+dy)t$$ である。一方 $$g(\vec{v})=(as+ct,bs+dt)$$ より $$\vec{u}\cdot g(\vec{v})=x(as+ct)+y(bs+dt)$$ である。右辺を展開するとどちらも $axs+bys+cxt+dyt$ となるので、$$f(\vec{u})\cdot \vec{v}=\vec{u}\cdot g(\vec{v})$$ が成り立つ。

(2) $$\vec{p}=\overrightarrow{OP}$$、$$\vec{q}=\overrightarrow{OQ}$$、$$\vec{r}=\overrightarrow{OR}$$ とおく。$P$ は $l$ 上にあり、$f$ は直線 $l$ をそれ自身に移すので、$Q$ も $l$ 上にある。したがって $$\vec{q}=\lambda \vec{p}$$ と書ける。また、ここでいう「それ自身に移す」は直線全体が再び同じ直線になるという意味なので、$P\mathrm{\ne }O$ に対して $Q\mathrm{\ne }O$ である。

(1) を $\vec{u}=\vec{p}$、$\vec{v}=\vec{p}$ に用いると $$f(\vec{p})\cdot \vec{p}=\vec{p}\cdot g(\vec{p})$$ すなわち $$\vec{q}\cdot \vec{p}=\vec{p}\cdot \vec{r}$$ である。よって $$(\vec{r}-\vec{q})\cdot \vec{p}=0$$ となる。

もし $Q=R$ なら (イ) が成り立つ。$Q\mathrm{\ne }R$ とする。このとき $$\vec{r}-\vec{q}=\overrightarrow{QR}$$ は $\vec{p}$ に垂直である。一方、$\vec{q}$ は $\vec{p}$ と平行で、しかも $\vec{q}\mathrm{\ne }\vec{0}$ である。したがって $\overrightarrow{QR}\perp \overrightarrow{QO}$ となり、3点 $Q,R,O$ は $Q$ を直角の頂点とする直角三角形の頂点である。よって (ロ) が成り立つ。

別解。直交座標の一方の軸を直線 $l$ に合わせて考えてもよい。この座標では $P=(p,0)$、$p\mathrm{\ne }0$ とおける。$l$ が $f$ によって同じ直線に移るので、行列 $A$ の第1列は $(\lambda ,0)$ の形である。したがって $Q=(\lambda p,0)$ である。一方、$B$ は $A$ の行と列を入れかえた行列なので、ある数 $\mu$ を用いて $R=(\lambda p,\mu p)$ と書ける。$\mu =0$ なら $Q=R$ で (イ) が成り立つ。$\mu \mathrm{\ne }0$ なら $OQ$ は横方向、$QR$ は縦方向で互いに垂直だから、(ロ) が成り立つ。