京都大学 1987年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

$(1,0)$と$(0,1)$は直交する。その像は$(a,b)$と$(c,d)$なので$$ac+bd=0(1)$$が必要である。また$(1,1)$と$(1,-1)$も直交し、その像は$(a+c,b+d)$と$(a-c,b-d)$である。内積を0とすると$$a^2+b^2=c^2+d^2(2)$$を得る。

逆に(1),(2)を仮定する。$\lambda =a^2+b^2=c^2+d^2$とおく。任意の行ベクトル$u=(x,y),v=(z,w)$について$$(uA)\cdot (vA)=\lambda (xz+yw)+(ac+bd)(xw+yz)=\lambda (u\cdot v)\mathrm{.}$$したがって$u\cdot v=0$なら像の内積も0である。零行列の場合もこの式に含まれる。よって必要十分条件は$$ac+bd=0,a^2+b^2=c^2+d^2$$である。

任意の $u=(x,y)$ に垂直な $v=(-y,x)$ を選ぶ。像の内積を $x,y$ の二次式として展開し、恒等的に0となる係数条件を読む。

任意のベクトル$$u=(x,y),v=(-y,x)$$を考える。この二つは常に直交する。行列 $A$ による像は$$uA=(xa+yc,xb+yd),vA=(-ya+xc,-yb+xd)$$である。その内積を展開すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (uA)\cdot (vA)}& {\displaystyle =(ac+bd)(x^2-y^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +(c^2+d^2-a^2-b^2)xy\mathrm{.}}\end{array}$$これが全ての実数 $x,y$ で0となるための必要十分条件は$$ac+bd=0,a^2+b^2=c^2+d^2$$である。

実際、この二条件が成り立てば上の式は全ての $x,y$ で0となり、任意の非零ベクトルに垂直なベクトルは $v$ の実数倍で表されるから、直交する二つのベクトルの像も直交する。零ベクトルを含む場合も像が零ベクトルなので条件を満たす。よってこれが必要十分条件である。