京都大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$ は互いに直交しているので、これらを座標軸の正の向きに取る。すなわち $$O=(0,0,0),A=(a,0,0),B=(0,b,0),C=(0,0,c)$$ とおく。このとき $$G=(\frac{a}{4},\frac{b}{4},\frac{c}{4})$$ であり、$\overrightarrow{OG}$ に平行な法線ベクトルは $(a,b,c)$ と取れる。したがって切断平面は$$a(x-\frac{a}{4})+b(y-\frac{b}{4})+c(z-\frac{c}{4})=0$$すなわち $$ax+by+cz=\frac{a^2+b^2+c^2}{4}$$ である。

以下 $S=a^2+b^2+c^2$ とおく。頂点 $O,A,B,C$ における左辺 $ax+by+cz$ の値は、それぞれ $0,a^2,b^2,c^2$ である。$O$ は常に平面の下側にあり、$A,B,C$ がどちら側にあるかは $a^2,b^2,c^2$ と $\frac{S}{4}$ の大小で決まる。

つまり $$a^2>\frac{S}{4}⟺3a^2>b^2+c^2$$ であり、$b,c$ についても同様である。切り口は、平面の両側に分かれる頂点を結ぶ辺上に現れ、平面上にある頂点はそのまま切り口の頂点になる。

分類は次のようになる。 $a^2,b^2,c^2$ がすべて $S\mathrm{/}4$ より大きいとき、平面は $OA,OB,OC$ の3辺を切る。したがって切り口は三角形である。 $a^2,b^2,c^2$ のうち、ちょうど2つが $S\mathrm{/}4$ より大きく、残り1つが $S\mathrm{/}4$ より小さいとき、平面は4本の辺を切る。したがって切り口は四角形である。 $a^2,b^2,c^2$ のうち、ちょうど1つが $S\mathrm{/}4$ より大きく、残り2つが $S\mathrm{/}4$ より小さいとき、平面はその大きい頂点から出る3本の辺を切る。したがって切り口は三角形である。

また、$a^2,b^2,c^2$ のいずれかが $S\mathrm{/}4$ に等しい場合、切り口は対応する頂点を通る。この場合は上の三角形と四角形の境界に当たり、切り口は三角形である。以上が $a,b,c$ の関係による分類である。

次に $a=7$, $b=8$, $c=9$ の場合を考える。このとき $$S=7^2+8^2+9^2=194,\frac{S}{4}=\frac{97}{2}$$ である。さらに $$49>\frac{97}{2},64>\frac{97}{2},81>\frac{97}{2}$$ だから、切り口は $OA,OB,OC$ 上に頂点をもつ三角形である。

平面の方程式は $$7x+8y+9z=\frac{97}{2}$$ である。したがって3つの座標軸との交点は$$U=(\frac{97}{14},0,0),V=(0,\frac{97}{16},0),W=(0,0,\frac{97}{18})$$である。

一般に、$U=(p,0,0)$, $V=(0,q,0)$, $W=(0,0,r)$ とすると $$\overrightarrow{UV}=(-p,q,0),\overrightarrow{UW}=(-p,0,r)$$ である。よって$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{UV}{\mathrm{\mid }}^2=p^2+q^2,\mathrm{\mid }\overrightarrow{UW}{\mathrm{\mid }}^2=p^2+r^2,\overrightarrow{UV}\cdot \overrightarrow{UW}=p^2$$であり、三角形の面積 $T$ は$$T=\frac{1}{2}\sqrt{(p^2+q^2)(p^2+r^2)-p^4}=\frac{1}{2}\sqrt{p^2{q}^2+q^2{r}^2+r^2{p}^2}$$である。

ここで $$p=\frac{97}{14},q=\frac{97}{16},r=\frac{97}{18}$$ を代入する。すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T}& {\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot {97}^2\sqrt{\frac{1}{{14}^2\cdot {16}^2}+\frac{1}{{16}^2\cdot {18}^2}+\frac{1}{{18}^2\cdot {14}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{9409}{2}\cdot \frac{\sqrt{{18}^2+{14}^2+{16}^2}}{14\cdot 16\cdot 18}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{9409}{2}\cdot \frac{\sqrt{776}}{4032}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{9409\sqrt{194}}{4032}}\end{array}$$である。