京都大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

$f(x)$ は3次式であるから、適当な実数 $h$、$p$、$q$ と $A\mathrm{\ne }0$ を用いて $f(x)=A(x-h{)}^3+p(x-h)+q$ と書ける。これは、3次式を平行移動して2次の項を消した形である。 $u=x-h$ とおくと $f(x)=A{u}^3+pu+q$ であり、$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3A{u}^2+p$ である。$f(x)$ を $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ で割ることは、$A{u}^3+pu+q$ を $3A{u}^2+p$ で割ることと同じである。

実際に割ると、まず商の一部は $u\mathrm{/}3$ であり、$$\frac{u}{3}(3A{u}^2+p)=A{u}^3+\frac{p}{3}u$$ である。したがって余りは $$(A{u}^3+pu+q)-(A{u}^3+\frac{p}{3}u)=\frac{2p}{3}u+q$$ である。

問題の条件より、この余りは定数である。したがって $u$ の係数は $0$ でなければならないから $$\frac{2p}{3}=0$$ すなわち $p=0$ である。よって $f(x)=A(x-h{)}^3+q$ の形である。

方程式 $f(x)=0$ は $A(x-h{)}^3+q=0$ すなわち $$(x-h{)}^3=-\frac{q}{A}$$ である。実数 $r$ に対して $z^3=r$ を満たす実数 $z$ はただ1つであるから、$x-h$ もただ1つに決まる。したがって $f(x)=0$ を満たす実数 $x$ はただ1つである。

別解。$f(x)=A{x}^3+B{x}^2+Cx+D$ とおいて直接割り算をしてもよい。このとき $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3A{x}^2+2Bx+C$ であり、余りの $x$ の係数は $\frac{6AC-2B^2}{9A}$ となる。余りが定数であることから $B^2=3AC$ となり、$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3A{(x+\frac{B}{3A})}^2$$ である。これを積分しても $f(x)=A(x-h{)}^3+q$ の形が得られる。