京都大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $$A=(-1,0,0),B=(1,0,0)$$とおける。$CD$ の中点が $z$ 軸上にあり、$C$ の $y$ 座標が正なので$$C=(0,u,v),D=(0,-u,v),u>0,v>0$$とおく。$CD=2$ より $2u=2$、したがって $u=1$ である。さらに $AC=2$ より$$1^2+1^2+v^2=2^2$$だから $v=\sqrt{2}$ である。よって$$C=(0,1,\sqrt{2}),D=(0,-1,\sqrt{2})$$である。

(2)

$M=(0,0,\sqrt{2})$ なので、$\alpha$ は$$z=t\sqrt{2}$$である。辺 $AC$ 上の点は$$(-1+s,s,s\sqrt{2})(0\leqq s\leqq 1)$$と書けるから、$\alpha$ との交点では $s=t$ である。同様に4交点は$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle E}& {\displaystyle =(-1+t,t,t\sqrt{2}),}& {\displaystyle F}& {\displaystyle =(1-t,t,t\sqrt{2}),}\\ {\displaystyle G}& {\displaystyle =(1-t,-t,t\sqrt{2}),}& {\displaystyle H}& {\displaystyle =(-1+t,-t,t\sqrt{2})}\end{array}$$である。したがって切口 $EFGH$ は、辺の長さが$$2(1-t),2t$$の長方形である。

(3)

高さ $z=s\sqrt{2}$ の水平断面は、(2) と同様に辺長 $2(1-s),2s$ の長方形である。断面積は$$4s(1-s)$$であり、$dz=\sqrt{2}ds$ である。原点に近い部分は $0\leqq s\leqq t$ だから、その体積 $V$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle ={\int }_0^{t}4s(1-s)\sqrt{2}ds}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\sqrt{2}{[\frac{s^2}{2}-\frac{s^3}{3}]}_0^t}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt{2}(2t^2-\frac{4}{3}{t}^3)}\end{array}$$である。

(1) は正四面体の対称性と三平方で座標を決める。(2) では座標の4交点を計算せず、平面が互いに垂直な向かい合う辺 $AB,CD$ に平行であることを使う。各側辺を下から $t:(1-t)$ に分けるので、相似から切口の一辺は $2(1-t)$、他方は $2t$ となる。(3) も高さの割合 $s$ だけで断面積を作り、カヴァリエリの考えで積分する。

(1)

$A=(-1,0,0),B=(1,0,0)$ とする。$C,D$ は $A,B$ から等距離なので、ともに平面 $x=0$ 上にある。また正四面体では向かい合う辺 $AB,CD$ の中点を結ぶ直線は両辺に垂直である。$M$ が $z$ 軸上にあり、$C$ の $y$ 座標が正だから$$C=(0,1,h),D=(0,-1,h)$$とおける。$AC=2$ に三平方を使うと$$1+1+h^2=4$$であり、$h>0$ だから $h=\sqrt{2}$ である。よって$$C=(0,1,\sqrt{2}),D=(0,-1,\sqrt{2})$$である。

(2)

$OM$ は向かい合う2辺 $AB,CD$ の共通垂線である。したがって $OM$ に垂直な平面 $\alpha$ は $AB$ と $CD$ の両方に平行である。

$\alpha$ は4本の側辺 $AC,BC,BD,AD$ を、下の端から高さの割合 $t$ の点で切る。三角形 $ABC$ の中では、$AC,BC$ 上の2交点を結ぶ辺は $AB$ に平行で、長さは$$(1-t)AB=2(1-t)$$である。三角形 $ACD$ の中では、$AC,AD$ 上の2交点を結ぶ辺は $CD$ に平行で、長さは$$tCD=2t$$である。

正四面体の向かい合う辺 $AB,CD$ は垂直だから、切口は辺長 $2(1-t),2t$ の長方形である。

(3)

$OM=\sqrt{2}$ である。$O$ から高さの割合 $s$ の平面で切った断面は、(2) と同じ相似の議論により、辺長$$2(1-s),2s$$の長方形である。したがって断面積は $4s(1-s)$ である。

高さの微小な増加は $\sqrt{2}ds$ だから、原点側の体積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =4\sqrt{2}{\int }_0^t(s-s^2)ds}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\sqrt{2}(\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{3})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt{2}(2t^2-\frac{4}{3}{t}^3)}\end{array}$$となる。