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京都大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

三角形ABCにおいて，辺AB，BC，CAをそれぞれ2:1に内分する点をA1，B1，C1とし，
また線分A1B1，B1C1，C1A1をそれぞれ2:1に内分する点をA2，B2，C2とする．
このとき，三角形A2B2C2は三角形ABCに相似であることを示せ．

難易度4/ 10計算量3/ 10目安15分

ベクトル、図形と方程式　ベクトル成分計算、図形的解釈、計算整理

方針

各頂点の位置ベクトルを置き、2:1内分を問題文の向きどおり2回計算する。A2,B2,C2 を元の3頂点の一次結合で表した後、3本の辺ベクトルを引き算する。それぞれが元の対応辺と平行で、長さが一律に 1/3 倍になることを示して相似を結論する。

解答

頂点 A,B,C の位置ベクトルを a⃗,b⃗,c⃗ とする。問題文の「2:1に内分」は、たとえば A1 が A から B へ 2/3 進んだ点であることを意味する。したがってOA1→=a⃗+2b⃗3,OB1→=b⃗+2c⃗3,OC1→=c⃗+2a⃗3である。

もう一度同じ比で内分するとOA2→=OA1→+2OB1→3=a⃗+4b⃗+4c⃗9,OB2→=4a⃗+b⃗+4c⃗9,OC2→=4a⃗+4b⃗+c⃗9となる。よってA2B2→=a⃗−b⃗3=−13AB→,B2C2→=−13BC→,C2A2→=−13CA→である。したがって3組の対応辺はそれぞれ平行で、長さの比はいずれも 1:3 である。ゆえに△A2B2C2∼△ABCであり、相似比は 1:3 である。

別解

解法2：重心中心の相似変換

方針

2回の内分後の各点を求めるところまでは同じだが、辺を3本計算せず、三角形 ABC の重心 G からの位置を調べる。各 GA2→ が対応する GA→ の −1/3 倍になることを示せば、中心 G、比 −1/3 の相似変換で3頂点が同時に移るため、相似が一度に従う。

解答

三角形 ABC の重心を G とする。原点を任意に取り、A,B,C の位置ベクトルを a⃗,b⃗,c⃗ とすればOG→=a⃗+b⃗+c⃗3である。

内分点の公式を2回使うとOA2→=a⃗+4b⃗+4c⃗9である。したがってGA2→=OA2→−OG→=−2a⃗+b⃗+c⃗9=−13(a⃗−a⃗+b⃗+c⃗3)=−13GA→となる。文字を循環させればGB2→=−13GB→,GC2→=−13GC→も成り立つ。

よって A2,B2,C2 は、それぞれ A,B,C を中心 G、相似比 −1/3 で移した点である。負号は G の反対側へ移ることを表し、長さはすべて 1/3 倍になる。したがって△A2B2C2∼△ABCである。

総評

難度4、計算量3で、目安は15分。採点の中心は内分の向きを正しく式にすることと、相似を「辺の長さが同じ比」だけで済ませず、対応辺の平行または共通の相似変換まで示すことである。A1=(A+2B)/3 の係数を逆にすると以後すべてが崩れる。解法1は機械的で安全、解法2は重心 G を中心とする比 −1/3 の変換を見抜けば3辺の計算をまとめられる。

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出典: 京都大学 1988年度 前期 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。