京都大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

同じ色で塗られた2つの面があるとする。条件より、それらは隣り合ってはならない。立方体で互いに隣り合わない2面は向かい合う2面だけであるから、1つの色が使われる面は高々2面である。

いま使用された色の数は3以内で、面は全部で6面ある。1色あたり高々2面なので、条件を満たすためには、実際にはちょうど3色が使われ、各色がちょうど2面ずつ使われるしかない。さらに、同じ色の2面は向かい合う面でなければならない。

立方体の向かい合う面の組は3組である。この3組に互いに異なる色を割り当てれば、各組の2面は同じ色で塗られ、隣り合う同色面は生じない。したがって条件を満たす塗り方の数は $N(N-1)(N-2)$ である。一方、各面を独立に $N$ 色から選ぶ全体の塗り方は $N^6$ 通りである。よって $$P(N)=\frac{N(N-1)(N-2)}{N^6}=\frac{(N-1)(N-2)}{N^5}$$ である。

次に $N$ による大小を調べる。$N\geqq 3$ に対して$$\frac{P(N+1)}{P(N)}=\frac{N(N-1)}{(N+1{)}^5}\cdot \frac{N^5}{(N-1)(N-2)}=\frac{N^6}{(N+1{)}^5(N-2)}$$である。ここで$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (N+1{)}^5(N-2)-N^6}& {\displaystyle =3N^5-10N^3-15N^2-9N-2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =N^3(3N^2-10)-(15N^2+9N+2)}\end{array}$$である。$N\geqq 3$ では $3N^2-10\geqq 17$ であり、また $15N^2+9N+2<17N^3$ であるから、この差は正である。したがって $(N+1{)}^5(N-2)>N^6$ となり、$$\frac{P(N+1)}{P(N)}<1$$ である。よって $P(N)$ は $N\geqq 3$ で単調に減少する。

したがって、$a,b$ が異なる $3$ 以上の整数であるとき、$$a<b\text{ならば}P(a)>P(b)$$ であり、逆に $a>b$ ならば $P(a)<P(b)$ である。

別解。塗り方の数え上げは、先に使う3色を選ぶと考えてもよい。${}_N{\mathrm{C}}_3$ 通りで3色を選び、その3色を3組の向かい合う面に対応させる方法が $3!$ 通りあるので、条件を満たす塗り方は $${}_N{\mathrm{C}}_{3}3!=N(N-1)(N-2)$$ 通りで同じ結果になる。