京都大学 1990年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第6問

$n$ 本のくじの中に1本だけ当たりくじがある．
このくじを無作為に1本ひき，ひいたくじをもとに戻すという試行を $l$ 回くり返す．
$l$ 回のうち当たった回数を $X$ とする．
確率変数 $X_{i}$ $(1 ≦ i ≦ l)$ を次により定める．

$X_{i} = {\begin{cases} 1 & i 回目に当たりくじがでたとき， \\ 0 & i 回目に当たりくじがでないとき． \end{cases}$

(1) 確率変数 $X$ を $X_{i}$ $(1 ≦ i ≦ l)$ で表わせ．

(2) $X^{2}$ の期待値 $E (X^{2})$ を求めよ．

(3) $E (X^{2}) > 2$ となる最小の $l$ は何か．

難易度6/ 10計算量5/ 10目安15分

確率　期待値、独立性の利用、式変形

方針

当たり回数は各回の指示変数の和である。二乗を展開すると $X_{i}^{2} = X_{i}$ であり、異なる回の積の期待値は独立性から $1 / n^{2}$ になる。(3)は得られた式が $l$ に関して増加することを用い、 $l = n$ と $l = n + 1$ を比較する。

解答

(1)

各回の当たりを足せばよいので $X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{l} .$ (2)

$X_{i}^{2} = X_{i}$ であり、 $E (X_{i}) = 1 / n$ である。また $i \neq j$ のとき各回は独立だから $E (X_{i} X_{j}) = 1 / n^{2}$ である。したがって $\begin{aligned} E (X^{2}) & = E (\sum_{i = 1}^{l} X_{i}^{2} + 2 \sum_{1 ≦ i < j ≦ l} X_{i} X_{j}) \\ = \frac{l}{n} + 2 \cdot \frac{l (l - 1)}{2} \cdot \frac{1}{n^{2}} \\ = \frac{l}{n} + \frac{l (l - 1)}{n^{2}} . \end{aligned}$ (3)

(2) の式は自然数 $l$ に関して増加する。 $l = n$ のとき $E (X^{2}) = 1 + \frac{n - 1}{n} = 2 - \frac{1}{n} < 2.$ 一方、 $l = n + 1$ のとき $E (X^{2}) = \frac{n + 1}{n} + \frac{n (n + 1)}{n^{2}} = 2 + \frac{2}{n} > 2.$ よって条件を満たす最小の $l$ は $l = n + 1$ である。

総評

目安は15分。二乗の展開で交差項に係数2が付くこと、組の個数が $l (l - 1) / 2$ であることが採点点になる。 $E (X)^{2}$ と $E (X^{2})$ を混同しない。最後は二次不等式を解くより $l = n, n + 1$ を比較すると簡潔である。

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出典: 京都大学 1990年度後期理系第6問（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

京都大学 1990年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第6問

方針

解答

総評

京都大学 1990年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第6問