京都大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第5問

(1)

第 $n$ 回の試行の直前に赤玉が一個残っている確率を $A_n$，二個残っている確率を $B_n$ とおく。このとき，袋の中の玉の総数は常に $N+2$ 個であるから $$P_n^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{N+2}{A}_n,P_n^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=\frac{2}{N+2}{B}_n$$ である。したがって $$A_n=(N+2)P_n^{\mathrm{\prime }},B_n=\frac{N+2}{2}{P}_n^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$$ と表せる。

まず，第 $n+1$ 回の直前に赤玉が一個残っている場合を考える。これは，第 $n$ 回の直前に赤玉が一個残っていて白玉を引く場合，または赤玉が二個残っていて赤玉を引く場合である。よって $$A_{n+1}=A_n\frac{N+1}{N+2}+B_n\frac{2}{N+2}$$ である。したがって $$P_{n+1}^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{N+2}{A}_{n+1}=\frac{N+1}{N+2}{P}_n^{\mathrm{\prime }}+\frac{1}{N+2}{P}_n^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$$ を得る。

次に，第 $n+1$ 回の直前に赤玉が二個残っているためには，第 $n$ 回の直前にも赤玉が二個残っていて，第 $n$ 回に白玉を引く必要がある。白玉は $N$ 個であるから $$B_{n+1}=B_n\frac{N}{N+2}$$ であり，したがって $$P_{n+1}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=\frac{N}{N+2}{P}_n^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$$ である。

(2)

ここで $P_n=P_n^{\mathrm{\prime }}+P_n^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ とおくと，上の二つの式を足して$$P_{n+1}=P_{n+1}^{\mathrm{\prime }}+P_{n+1}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=\frac{N+1}{N+2}{P}_n^{\mathrm{\prime }}+\frac{1}{N+2}{P}_n^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+\frac{N}{N+2}{P}_n^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$$である。よって $$P_{n+1}=\frac{N+1}{N+2}(P_n^{\mathrm{\prime }}+P_n^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }})=\frac{N+1}{N+2}{P}_n$$ となる。

初回は赤玉が二個残っている状態から始まるので $$P_1=\frac{2}{N+2}$$ である。したがって等比数列の形で $$P_n=\frac{2}{N+2}{\left(\frac{N+1}{N+2}\right)}^{n-1}$$ を得る。