京都大学 1989年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第5問

$n$ は自然数で， $n ≧ 3$ である．
数 $1, 2, \dots, n$ のいずれについても，それが記入されたカードが1枚ずつ，計 $n$ 枚のカードがある．

$A$ 君は，それらのカードのうち2枚を無作為に取り出し，
それらに記入されている数のうち大きい方を $A$ 君の得点とする．

$B$ 君は，それらのカードから1枚を無作為に取り出し，書かれている数を確認してから，
そのカードを返すことを2回くり返して，書かれている数の大きい(または小さくない)方を $B$ 君の得点とする．

$A$ ， $B$ 両君のうち得点の大きい方を勝ちとする．

$A$ 君の勝つ確率 $p$ と $B$ 君の勝つ確率 $q$ との大小を比較せよ．

難易度7/ 10計算量7/ 10目安25分

確率　数え上げ、余事象、和の計算

方針

AとBの得点分布を最大値の累積確率から求める。Aの得点が $i$ 、Bの得点が $j$ となる確率を使い、 $p = P (A > B)$ と $q = P (B > A)$ をそれぞれ有限和で計算して差を比較する。

解答

Aの得点が $i$ （ $2 ≦ i ≦ n$ ）となる確率は $P (A = i) = \frac{i - 1}{_{n} C_{2}} = \frac{2 (i - 1)}{n (n - 1)} .$ Bの得点については $P (B ≦ j) = {(\frac{j}{n})}^{2}, P (B = j) = \frac{2 j - 1}{n^{2}} .$ したがって $\begin{aligned} p & = \sum_{i = 2}^{n} P (A = i) P (B ≦ i - 1) \\ = \sum_{i = 2}^{n} \frac{2 (i - 1)}{n (n - 1)} \frac{(i - 1)^{2}}{n^{2}} \\ = \frac{n - 1}{2 n} . \end{aligned}$ 一方 $\begin{aligned} q & = \sum_{j = 1}^{n} P (B = j) P (A ≦ j - 1) \\ = \sum_{j = 1}^{n} \frac{2 j - 1}{n^{2}} \frac{(j - 1) (j - 2)}{n (n - 1)} \\ = \frac{(3 n + 1) (n - 2)}{6 n^{2}} . \end{aligned}$ よって $p - q = \frac{n + 1}{3 n^{2}} > 0.$ したがって $p > q$ であり、A君の勝つ確率の方が大きい。

総評

目安は25分。「2枚を戻さずに取るA」と「戻して2回取るB」の最大値分布を区別することが核心である。引き分けがあるため、単に平均得点を比較しても勝率比較にはならない。累積確率を先に書き、勝つ側の得点で和を取ると漏れがない。

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出典: 京都大学 1989年度後期理系第5問（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

京都大学 1989年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

方針

解答

総評

京都大学 1989年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第5問