京都大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)

第 $n$ 回の試行の直前に赤玉がそれぞれ一個，二個，三個残っている確率を $A_{1,n},A_{2,n},A_{3,n}$ とおく。袋の中の玉の総数は常に $N+3$ 個であるから $$P_{1,n}=\frac{1}{N+3}{A}_{1,n},$$ $$P_{2,n}=\frac{2}{N+3}{A}_{2,n},$$ $$P_{3,n}=\frac{3}{N+3}{A}_{3,n}$$ である。

まず赤玉が一個残る状態について考える。第 $n+1$ 回の直前に赤玉が一個残るのは，第 $n$ 回の直前に赤玉が一個残っていて白玉を引く場合，または赤玉が二個残っていて赤玉を引く場合である。したがって $$A_{1,n+1}=A_{1,n}\frac{N+2}{N+3}+A_{2,n}\frac{2}{N+3}$$ である。これを $P_{i,n}$ で表すと $$P_{1,n+1}=\frac{N+2}{N+3}{P}_{1,n}+\frac{1}{N+3}{P}_{2,n}$$ となる。

次に赤玉が二個残る状態について考える。第 $n+1$ 回の直前に赤玉が二個残るのは，第 $n$ 回の直前に赤玉が二個残っていて白玉を引く場合，または赤玉が三個残っていて赤玉を引く場合である。よって $$A_{2,n+1}=A_{2,n}\frac{N+1}{N+3}+A_{3,n}\frac{3}{N+3}$$ であり，したがって $$P_{2,n+1}=\frac{N+1}{N+3}{P}_{2,n}+\frac{2}{N+3}{P}_{3,n}$$ を得る。

最後に赤玉が三個残る状態について考える。これは，第 $n$ 回の直前にも赤玉が三個残っていて，第 $n$ 回に白玉を引いた場合だけである。白玉は $N$ 個なので $$A_{3,n+1}=A_{3,n}\frac{N}{N+3}$$ であり，$$P_{3,n+1}=\frac{N}{N+3}{P}_{3,n}$$ となる。

(2)

ここで $$P_n=P_{1,n}+P_{2,n}+P_{3,n}$$ であるから，三つの漸化式を足すと$$P_{n+1}=\frac{N+2}{N+3}{P}_{1,n}+(\frac{1}{N+3}+\frac{N+1}{N+3})P_{2,n}+(\frac{2}{N+3}+\frac{N}{N+3})P_{3,n}$$となる。各係数はすべて $\frac{N+2}{N+3}$ にそろうので $$P_{n+1}=\frac{N+2}{N+3}{P}_n$$ を得る。

初回は赤玉が三個残っている状態から始まるから $$P_1=\frac{3}{N+3}$$ である。したがって $${\displaystyle P_n=\frac{3}{N+3}{\left(\frac{N+2}{N+3}\right)}^{n-1}}$$ である。