京大 1992年度理系（後期）数学第5問｜問題・解答・解説

京都大学 1992年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第5問

1から $N + 2$ $(N ≧ 2)$ までの番号のついた玉 $(N + 2)$ 個を用意し，
手元に1と2の番号のついた玉をおき，
残り $N$ 個の玉を箱に入れる．
さらに，

「玉を1つ箱から取り出し，手元の玉2個と取り出した玉1個計3個の玉のうち最も小さい番号の玉を箱に返す」

という操作を $n$ 回くり返す $(n ≧ 1)$ ．
最後に手元に残った2個の玉の番号のうち小さい方を $X$ とし，大きい方を $Y$ とする．

(1) $Y ≦ m$ である確率 $P (Y ≦ m)$ を求めよ $(m = 3, 4, \dots \dots, N + 2)$ ．

(2) $X ≦ m$ である確率 $P (X ≦ m)$ を求めよ $(m = 2, 3, \dots \dots, N + 1)$ ．

難易度8/ 10計算量8/ 10目安22分

方針

手元にはこれまで現れた玉のうち大きい2個が残る。 $Y ≦ m$ は $m$ より大きい玉を一度も引かない事象、 $X ≦ m$ の余事象は大きい玉を2個手元へ取り込む事象である。大きい玉を0個・1個だけ取り込む確率を数える。

解答

手元の2個は、操作で現れた玉のうち番号が大きい2個である。

(1) $Y ≦ m$ であるための必要十分条件は、番号が $m$ より大きい玉を一度も取り出さないことである。そのような玉は箱に $N + 2 - m$ 個あり、事象が続く限り個数は変わらない。従って各回に許される玉は $m - 2$ 個で、 $P (Y ≦ m) = {(\frac{m - 2}{N})}^{n} .$ (2) $H = N + 2 - m$ , $A = m - 2$ とおく。 $X ≦ m$ は、番号が $m$ より大きい玉を手元へ取り込む回数が0回または1回である事象である。

0回の確率は $(A / N)^{n}$ である。最初の大きい玉を第 $j$ 回に引き、その後は残る $H - 1$ 個を引かない確率を足すと、ちょうど1個を取り込む確率は $\sum_{j = 1}^{n} {(\frac{A}{N})}^{j - 1} \frac{H}{N} {(\frac{A + 1}{N})}^{n - j} = \frac{H {(A + 1)^{n} - A^{n}}}{N^{n}} .$ 従って $P (X ≦ m) = \frac{(N + 2 - m) (m - 1)^{n} - (N + 1 - m) (m - 2)^{n}}{N^{n}} .$

総評

箱の内容が変化する確率過程を閾値だけで追う難問で目安は22分。大きい玉を1個取ると箱内の大きい玉が1個減り、以後の回避確率が変わる点が核心である。条件を使う箇所、途中計算、端点や等号の判定まで答案に明記すれば、論理を失わず完答できる。

出典: 京都大学 1992年度後期数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

京都大学 1992年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

方針

解答

総評

京都大学 1992年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第5問