京都大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $Y_{n-1}$を7で割った余りで考える。

まず$Y_{n-1}$が7で割り切れるとする。このとき次に足される$X_n$は$1,2,3,4,5,6$のいずれかなので，$Y_n=Y_{n-1}+X_n$は7で割り切れない。

次に，$Y_{n-1}$が7で割り切れないとする。$Y_{n-1}$を7で割った余りを$r$とすれば，$r$は$1,2,3,4,5,6$のいずれかである。$Y_n$が7で割り切れるには $r+X_n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$ となればよい。この条件を満たす$X_n$は$7-r$の1通りで，しかも$1\leqq 7-r\leqq 6$である。

したがって，$Y_{n-1}$が7で割り切れない確率$1-p_{n-1}$のうち，さらに確率$1\mathrm{/}6$で$Y_n$が7で割り切れる。よって $${\displaystyle p_n={\displaystyle \frac{1-p_{n-1}}{6}}}$$ である。

(2)
1回だけ投げたとき，出目は$1$から$6$までなので $p_1=0$ である。(1)の漸化式を $$p_n={\displaystyle \frac{1}{6}}-{\displaystyle \frac{1}{6}}{p}_{n-1}$$ と書く。この漸化式の一定値を$\alpha$とすると $$\alpha ={\displaystyle \frac{1}{6}}-{\displaystyle \frac{1}{6}}\alpha$$ より $\alpha ={\displaystyle \frac{1}{7}}$ である。したがって $$p_n-{\displaystyle \frac{1}{7}}=-{\displaystyle \frac{1}{6}}(p_{n-1}-{\displaystyle \frac{1}{7}})$$ となる。

これを繰り返すと $$p_n-{\displaystyle \frac{1}{7}}={(-{\displaystyle \frac{1}{6}})}^{n-1}(p_1-{\displaystyle \frac{1}{7}})$$ であり，$p_1=0$だから $$p_n-{\displaystyle \frac{1}{7}}=-{\displaystyle \frac{1}{7}}{(-{\displaystyle \frac{1}{6}})}^{n-1}$$ である。よって $${\displaystyle p_n={\displaystyle \frac{1}{7}}\{1-{(-{\displaystyle \frac{1}{6}})}^{n-1}\}}$$ を得る。

確率ではなく、条件を満たす出目列の本数を数える。長さ $n-1$ の列のうち和が7の倍数でない列には、条件を満たす最後の出目がただ1通りある。

(1)
$A_n$ を、$n$ 回の出目の和が7の倍数となる出目列の本数とする。
長さ $n-1$ の出目列は全部で $6^{n-1}$ 本ある。

和が7の倍数である $A_{n-1}$ 本には、最後に1から6のどれを付けても
7の倍数にはならない。一方、和が7の倍数でない各列には、
最後に付けて7の倍数にする出目がちょうど1通りある。ゆえに$$A_n=6^{n-1}-A_{n-1}\mathrm{.}$$両辺を $6^n$ で割ると$$p_n={\displaystyle \frac{1-p_{n-1}}{6}}\mathrm{.}$$(2)
0回の和を0とみなせば $A_0=1$ である。漸化式を$$A_n-{\displaystyle \frac{6^n}{7}}=-(A_{n-1}-{\displaystyle \frac{6^{n-1}}{7}})$$と書ける。これを繰り返して$$A_n-{\displaystyle \frac{6^n}{7}}=(-1{)}^n(A_0-{\displaystyle \frac{1}{7}})={\displaystyle \frac{6}{7}}(-1{)}^n\mathrm{.}$$したがって$$p_n={\displaystyle \frac{A_n}{6^n}}={\displaystyle \frac{1}{7}}+{\displaystyle \frac{6}{7}}{(-{\displaystyle \frac{1}{6}})}^n={\displaystyle \frac{1}{7}}\{1-{(-{\displaystyle \frac{1}{6}})}^{n-1}\}\mathrm{.}$$