京都大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

まず $a_1=1\leqq 4$ である。また $a_2=1\leqq 2$ である。

$n\geqq 2$ で $a_n\leqq 4\mathrm{/}n$ と仮定すると$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n+{\displaystyle \frac{1}{n+1}}\leqq {\displaystyle \frac{2}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{n+1}}\mathrm{.}$$ここで$${\displaystyle \frac{4}{n+1}}-({\displaystyle \frac{2}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{n+1}})={\displaystyle \frac{n-2}{n(n+1)}}\geqq 0$$だから $a_{n+1}\leqq 4\mathrm{/}(n+1)$ である。従って数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について$$a_n\leqq {\displaystyle \frac{4}{n}}$$が成り立つ。

新しい数列$b_n=n{a}_n$を導入する。漸化式を$b_n$の形へ直すと、上界4が保たれることが係数の単純な評価で分かる。

$$b_n=n{a}_n$$とおく。元の漸化式から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b_{n+1}}& {\displaystyle =(n+1)a_{n+1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n+1}{2n}}{b}_n+1.}\end{array}$$$b_1=1$、$b_2=2$である。$n\geqq 2$では$${\displaystyle \frac{n+1}{2n}}\leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$したがって$b_n\leqq 4$なら$$b_{n+1}\leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot 4+1=4.$$初めの2項とこの保存性から、すべての自然数$n$について$b_n\leqq 4$である。ゆえに$$a_n\leqq {\displaystyle \frac{4}{n}}\mathrm{.}$$