京都大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(イ)より、$4,x_1,x_2$ がこの順で等差数列であるから $x_1-4=x_2-x_1$ すなわち $2x_1=x_2+4$ である。ここに $$x_1=-a+b+c,x_2=-4a+2b+c$$ を代入すると $2(-a+b+c)=-4a+2b+c+4$ であり、整理して $2a+c=4$ を得る。$a,c$ は自然数、すなわち正の整数なので $a=1,c=2$ である。

次に(ロ)を変形する。任意の実数 $u,v$ について $${\left({\displaystyle \frac{u+v}{2}}\right)}^2-uv={\displaystyle \frac{(u-v{)}^2}{4}}$$ であるから、(ロ)は ${\displaystyle \frac{(x_n-x_{n+1}{)}^2}{4}}\geqq 1$ すなわち $\mathrm{\mid }{x}_{n+1}-x_n\mathrm{\mid }\geqq 2$ と同値である。 $a=1,c=2$ のとき $x_n=-n^2+bn+2$ である。したがって $$x_{n+1}-x_n=-(n+1{)}^2+n^2+b=b-(2n+1)$$ である。よって、すべての自然数 $n$ について $\mathrm{\mid }b-(2n+1)\mathrm{\mid }\geqq 2$ が必要十分である。

まず $b=1$ なら $\mathrm{\mid }1-(2n+1)\mathrm{\mid }=2n\geqq 2$ であり、条件を満たす。逆に $b\geqq 2$ とする。$b=2k$ が偶数なら、$n=k$ とすれば $$\mathrm{\mid }b-(2n+1)\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }2k-(2k+1)\mathrm{\mid }=1$$ となり不適である。$b=2k+1$ が奇数なら、$b\geqq 3$ なので $k\geqq 1$ であり、$n=k$ とすれば $\mathrm{\mid }b-(2n+1)\mathrm{\mid }=0$ となり不適である。

したがって $b=1$ に限られる。以上より $(a,b,c)=(1,1,2)$ である。

$b$ と奇数列との距離

等差条件は $x_2-2x_1+4=0$ として係数比較する。不等式は
隣接差の絶対値が2以上という条件へ変え、奇数列
$3,5,7,\dots$ と自然数 $b$ の距離として判定する。

条件(イ)は$$x_2-2x_1+4=0$$である。$x_n=-a{n}^2+bn+c$ を代入すると$$-2a-c+4=0,2a+c=4.$$$a,c$ は正の整数だから$$a=1,c=2$$に限られる。

また恒等式$${\left({\displaystyle \frac{u+v}{2}}\right)}^2-uv={\displaystyle \frac{(u-v{)}^2}{4}}$$より、条件(ロ)は$$\mathrm{\mid }{x}_{n+1}-x_n\mathrm{\mid }\geqq 2$$と同値である。いま$$x_{n+1}-x_n=b-(2n+1)$$だから、すべての $n\geqq 1$ に対して$$\mathrm{\mid }b-(2n+1)\mathrm{\mid }\geqq 2$$が必要十分である。

$b=1$ なら左辺は $2n$ であり条件を満たす。一方 $b\geqq 2$ なら、
$b$ に最も近い3以上の奇数を選べば、その差は0または1である。
具体的に $b=2k$ なら $n=k$、$b=2k+1\geqq 3$ なら $n=k$
とすれば条件に反する。したがって$$(a,b,c)=(1,1,2)\mathrm{.}$$