京都大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

弧$A_n{B}_n,B_n{C}_n,C_n{A}_n$の中心角をそれぞれ${\alpha }_n,{\beta }_n,{\gamma }_n$とすると$${\alpha }_n+{\beta }_n+{\gamma }_n=2\pi ,{\alpha }_{n+1}={\displaystyle \frac{{\alpha }_n+{\beta }_n}{2}}\mathrm{.}$$(1)$${\beta }_{n-1}=2{\alpha }_n-{\alpha }_{n-1}$$であり、また$${\beta }_n={\displaystyle \frac{{\beta }_{n-1}+{\gamma }_{n-1}}{2}}={\displaystyle \frac{2\pi -{\alpha }_{n-1}}{2}}\mathrm{.}$$従って$$2{\alpha }_{n+1}={\alpha }_n+\pi -{\displaystyle \frac{{\alpha }_{n-1}}{2}},$$すなわち$$4{\alpha }_{n+1}-2{\alpha }_n+{\alpha }_{n-1}=2\pi \mathrm{.}$$(2)
(1)を一つずらして$${\alpha }_{n+2}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+{\displaystyle \frac{{\alpha }_{n+1}}{2}}-{\displaystyle \frac{{\alpha }_n}{4}}\mathrm{.}$$ここへ$${\alpha }_{n+1}=\pi \mathrm{/}2+{\alpha }_n\mathrm{/}2-{\alpha }_{n-1}\mathrm{/}4$$を代入すると$${\alpha }_{n+2}={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{{\alpha }_{n-1}}{8}}\mathrm{.}$$(3)
$u_n={\alpha }_{3n}$とおけば(2)より$$u_{n+1}={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{u_n}{8}}\mathrm{.}$$この漸化式の定常値は$2\pi \mathrm{/}3$なので$$u_n-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}=-{\displaystyle \frac{1}{8}}(u_{n-1}-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}})\mathrm{.}$$従って$${\alpha }_{3n}={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+{(-{\displaystyle \frac{1}{8}})}^n({\alpha }_0-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}})\mathrm{.}$$3つの弧を同時に二等分する更新

3つの中心角をベクトルにまとめる。更新は一定の平均行列で表せるため、
その3乗の第1行から3段ごとの漸化式を直接得る。

弧 $A_n{B}_n,B_n{C}_n,C_n{A}_n$ の中心角を
${\alpha }_n,{\beta }_n,{\gamma }_n$ とする。常に$${\alpha }_n+{\beta }_n+{\gamma }_n=2\pi \mathrm{.}$$中点への移動から$$\left(\begin{array}{c}{\alpha }_{n+1}\\ {\beta }_{n+1}\\ {\gamma }_{n+1}\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\alpha }_n\\ {\beta }_n\\ {\gamma }_n\end{array}\right)\mathrm{.}$$(1)

第1式から$${\beta }_{n-1}=2{\alpha }_n-{\alpha }_{n-1}$$ である。また$${\beta }_n={\displaystyle \frac{{\beta }_{n-1}+{\gamma }_{n-1}}{2}}={\displaystyle \frac{2\pi -{\alpha }_{n-1}}{2}}\mathrm{.}$$これを $$2{\alpha }_{n+1}={\alpha }_n+{\beta }_n$$ へ代入して$$4{\alpha }_{n+1}-2{\alpha }_n+{\alpha }_{n-1}=2\pi \mathrm{.}$$(2)

上の整数行列を $N$ とすると、直接計算により $N^3$ の第1行は$$(2,3,3)$$である。したがって$${\alpha }_{n+3}={\displaystyle \frac{2{\alpha }_n+3{\beta }_n+3{\gamma }_n}{8}}={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{{\alpha }_n}{8}}\mathrm{.}$$$n$ を $n-1$ に替えれば$${\alpha }_{n+2}={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{{\alpha }_{n-1}}{8}}\mathrm{.}$$(3)

$u_n={\alpha }_{3n}$ とおくと$$u_{n+1}={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{u_n}{8}}\mathrm{.}$$定常値は $2\pi \mathrm{/}3$ だから$$u_{n+1}-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}=-{\displaystyle \frac{1}{8}}(u_n-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}})\mathrm{.}$$よって$${\alpha }_{3n}={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+{(-{\displaystyle \frac{1}{8}})}^n({\alpha }_0-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}})\mathrm{.}$$