京都大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

最初の $N$ 回の操作では、赤玉が箱 $N+1$ にある限り、その箱が交換相手に選ばれない確率は毎回$${\displaystyle \frac{N-1}{N}}$$である。いったん選ばれると赤玉はその時の箱 $k$ に移る。その後、赤玉が交換相手として選ばれれば、その時点の箱へ移るが、それらはいずれも操作を終えた箱である。したがって最終操作より前に箱 $N+1$ へ戻ることはない。

よって最初の $N$ 回の後にも赤玉が箱 $N+1$ にある確率は$${\left({\displaystyle \frac{N-1}{N}}\right)}^N\mathrm{.}$$最後の $k=N+1$ の操作では、赤玉が箱 $N+1$ にあれば必ず外へ出る。赤玉が他の箱にあれば、その箱が交換相手に選ばれる確率 ${\displaystyle \frac{1}{N}}$ で箱 $N+1$ に入る。したがって求める確率は$${\displaystyle \frac{1}{N}}\{1-{\left({\displaystyle \frac{N-1}{N}}\right)}^N\}\mathrm{.}$$