京都大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第5問

4チームを区別して考える。総試合数は ${}_4{\mathrm{C}}_2=6$ であり、各試合の勝敗は独立に2通りだから、全体の場合の数は $2^6=64$ である。

まず、3勝0敗のチームがいる場合を数える。3勝するチームを1つ選ぶ方法が4通りあり、そのチームが関わる3試合の勝敗はすべて決まる。残り3チーム同士の試合は3試合あり、これは自由に決められるので $2^3=8$ 通りである。したがってこの場合は $4\cdot 8=32$ 通りであり、首位は3勝した1チームだけである。

次に、3勝チームがいない場合を考える。このとき最大勝数は2である。

勝数の型が $(2,2,2,0)$ となる場合は、0勝のチームを選ぶ方法が4通りある。そのチームは他の3チーム全員に負け、残り3チーム同士は全員が2勝になるために、3チームの間で勝敗が循環していなければならない。循環の向きは2通りなので、この型は $4\cdot 2=8$ 通りであり、首位は2勝の3チームである。

3勝チームがいない残りの場合の数は $64-32-8=24$ 通りである。このとき勝数の合計は試合数と同じ6で、最大勝数が2、かつ $(2,2,2,0)$ ではないので、勝数の型は $(2,2,1,1)$ である。したがって首位は2勝の2チームである。

よって、首位チーム数の期待値は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{32\cdot 1+8\cdot 3+24\cdot 2}{64}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{32+24+48}{64}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{104}{64}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{13}{8}}\mathrm{.}}\end{array}$$

各チームが「1位に含まれる」ことを表す指示変数を置く。1チームを固定して首位になる勝敗表を数え、対称性で4倍する。

チーム $i$ が1位に含まれるとき1、そうでないとき0となる指示変数を $I_i$ とする。1位のチーム数を $X$ とすれば$$X=I_1+I_2+I_3+I_4$$だから、対称性と期待値の線形性より$$\mathrm{E}[X]=4\mathrm{Pr}(I_1=1)\mathrm{.}$$チーム1を固定する。3勝の場合、残る3試合は自由なので勝敗表は$$2^3=8$$通りである。

2勝1敗の場合、チーム1に勝つ相手を3通りに選ぶ。その相手が残り2チームにも勝つと3勝してしまい、チーム1は首位でなくなる。相手以外の3試合は8通りだが、この除外は残り2チーム間の勝敗だけが自由な2通りである。したがって$$3(8-2)=18$$通りである。

1勝以下では、全6試合の勝数の合計が6であるため、他に2勝以上のチームが必ずあり、首位にはなれない。よって$$\mathrm{Pr}(I_1=1)={\displaystyle \frac{8+18}{64}}={\displaystyle \frac{13}{32}}\mathrm{.}$$したがって$$\mathrm{E}[X]=4\cdot {\displaystyle \frac{13}{32}}={\displaystyle \frac{13}{8}}\mathrm{.}$$