京都大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

全試合数は $${}_n{\mathrm{C}}_2={\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}$$ であり、すべての勝敗の総数は $2^{{}_n{\mathrm{C}}_2}$ である。

ちょうど2チームが $n-2$ 勝1敗になる場合を数える。まず、その2チームを選ぶ方法は ${}_n{\mathrm{C}}_2$ 通りである。選ばれた2チームを $A,B$ とし、ここでは $A$ が $B$ に勝つ場合を考える。$A,B$ の直接対戦の勝敗は2通りあるので、最後に2倍すればよい。 $A$ が $B$ に勝つとする。$B$ が $n-2$ 勝1敗であるためには、$B$ の唯一の敗戦は $A$ との試合でなければならない。したがって $B$ は、$A$ 以外のすべてのチームに勝つ。

一方、$A$ も $n-2$ 勝1敗であり、すでに $B$ には勝っている。よって $A$ に勝つチームを、残り $n-2$ チームの中から1つ選ぶ必要がある。この選び方は $n-2$ 通りである。このチームを $C$ とする。すると $C$ は $A$ に勝ち、$A$ は $C$ 以外の残りのチームにはすべて勝つ。

ここまでで、$A,B$ と他のチームとの試合はすべて決まった。残る自由な試合は、$A,B$ を除く $n-2$ チーム同士の試合であり、その数は $${}_{n-2}{\mathrm{C}}_2={\displaystyle \frac{(n-2)(n-3)}{2}}$$ である。したがって一見すると $2^{{}_{n-2}{\mathrm{C}}_2}$ 通りある。

ただし、この中には $C$ も $n-2$ 勝1敗になってしまう場合が含まれている。$C$ はすでに $B$ に負け、$A$ に勝っているので、残りの $n-3$ チームすべてに勝つと、$C$ も $n-2$ 勝1敗になる。この場合は除かなければならない。$C$ が残り $n-3$ チームすべてに勝つことを固定すると、それ以外の残り $n-3$ チーム同士の試合は自由であり、その数は $2^{{}_{n-3}{\mathrm{C}}_2}$ 通りである。

なお、$C$ 以外の残りのチームは、すでに $A$ と $B$ の両方に負けているため、$n-2$ 勝1敗になることはない。したがって除くべき場合は上の $C$ の場合だけである。

以上より、条件を満たす勝敗表の数は$${}_n{\mathrm{C}}_2\cdot 2\cdot (n-2)\{2^{{}_{n-2}{\mathrm{C}}_2}-2^{{}_{n-3}{\mathrm{C}}_2}\}$$である。したがって求める確率は$${\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_2\cdot 2(n-2)\{2^{{}_{n-2}{\mathrm{C}}_2}-2^{{}_{n-3}{\mathrm{C}}_2}\}}{2^{{}_n{\mathrm{C}}_2}}}$$である。

該当する2チームを固定し、その2チームだけが1敗となる条件付き確率を求める。最後に組の選び方を掛ける。

該当する2チームを $A,B$ と固定する。まず $A$ が $B$ に勝つ向きを考える。$B$ は他の全チームに勝たなければならず、$A$ の唯一の敗戦相手 $C$ は残り $n-2$ チームから選ぶ。

$A,B$ に関係する試合を固定した後、残り $n-2$ チーム間には$${\displaystyle \frac{(n-2)(n-3)}{2}}$$試合がある。ただし $C$ が残りの $n-3$ チームすべてに勝つと、$C$ も $n-2$ 勝1敗になる。この除外後の自由度は$$2^{{}_{n-2}{\mathrm{C}}_2}-2^{{}_{n-3}{\mathrm{C}}_2}$$通りである。

$A,B$ の勝敗の向きは2通り、該当する2チームの選び方は$${\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}$$通りである。全勝敗表は$$2^{{}_n{\mathrm{C}}_2}$$通りだから、求める確率は$${\displaystyle \frac{n(n-1)(n-2)\{2^{{}_{n-2}{\mathrm{C}}_2}-2^{{}_{n-3}{\mathrm{C}}_2}\}}{2^{{}_n{\mathrm{C}}_2}}}\mathrm{.}$$$n=3$ では波括弧内が0となり、実際に条件を満たす勝敗表がないこととも一致する。