京都大学 2005年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第6問

$n$ 枚の100円玉の表の枚数を $X$、500円玉のうち $n$ 枚の表の枚数を $Y$、残り1枚が表なら1、裏なら0となる数を $Z$ とする。求める事象は$$Y+Z>X$$である。

$D=Y-X$ とおく。$X,Y$ は同じ二項分布に従い独立なので、$D$ と $-D$ の確率分布は同じである。したがって$$P(D>0)=P(D<0)\mathrm{.}$$$Z=0,1$ はそれぞれ確率 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ で起こるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(D+Z>0)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}P(D>0)+{\displaystyle \frac{1}{2}}P(D\geqq 0)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\{2P(D>0)+P(D=0)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$最後の等式では $2P(D>0)+P(D=0)=1$ を用いた。よって求める確率は$${\displaystyle \frac{1}{2}}$$である。

100円玉と500円玉を (n) 組に対応させ，残る500円玉1枚を特別扱いする。各組の表裏を交換し，特別な1枚を反転する写像が，求める事象とその補集合を一対一に対応させることを示す。

$n$ 枚の100円玉と，500円玉のうち $n$ 枚を1枚ずつ対応させる。100円玉の表の枚数を $X$，対応させた500円玉の表の枚数を $Y$，残る500円玉1枚が表なら $Z=1$，裏なら $Z=0$ とする。

すべての投げ方に対して，次の操作を行う。$$\begin{array}{c}\text{各組で100円玉と500円玉の表裏を交換する},\\ \text{残る500円玉1枚の表裏を反転する}\mathrm{.}\end{array}$$操作後の表の枚数は$$X^{\mathrm{\prime }}=Y,Y^{\mathrm{\prime }}=X,Z^{\mathrm{\prime }}=1-Z$$である。この操作を2回行うと元に戻るので，全事象上の一対一対応である。

もとの投げ方が求める事象に属さないとき，$$Y+Z\leqq X$$である。$Z=0$ なら $X+1>Y$，$Z=1$ なら $X>Y$ だから，いずれも$$Y^{\mathrm{\prime }}+Z^{\mathrm{\prime }}=X+1-Z>Y=X^{\mathrm{\prime }}$$となり，操作後は求める事象に属する。逆向きも同様であり，この操作は求める事象とその補集合を一対一に対応させる。

したがって両者の確率は等しく，和が1なので，求める確率は$${\displaystyle \frac{1}{2}}$$である。