Evolton
方針
条件(i)は、行列を に作用させて成分比較すれば と の関係が出る。条件(ii)では、 の像は行列の第1列・第2列であり、 の面積はこの2ベクトルが作る平行四辺形の面積の半分である。面積条件は絶対値付きの式になるので、最後に2通りを忘れずに戻す。
解答
条件(i)よりである。左辺を計算して成分を比較すると である。したがって となる。
次に、点 の像は行列の第1列であり、点 の像は第2列である。したがって である。
の面積は、ベクトル と が作る平行四辺形の面積の半分である。よって である。これが に等しいから である。
ここに を代入すると となる。したがって であるから である。対応する は である。
以上より である。
総評
行列の基本操作と面積条件を結びつける小問である。条件(i)から をすぐに確定し、残りを だけにする流れが自然である。面積は絶対値を伴うため、 から の2通りを出す必要がある。符号つきの行列式をそのまま面積にしてしまうミスが最も起こりやすい。目安時間は12分程度。