京都大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

直線 $l$ 上の点を $P=(3+s,4+s,s)$ とおき、直線 $m$ 上の点を $Q=(2+t,-1-2t,0)$ とおく。ただし $s,t$ は実数である。このとき $$\overrightarrow{QP}=P-Q=(1+s-t,5+s+2t,s)$$ であるから、距離の2乗は $$D(s,t)=(1+s-t{)}^2+(5+s+2t{)}^2+s^2$$ である。 $D(s,t)$ を最小にする点では、$s$ だけを動かしたときも、$t$ だけを動かしたときも一次の変化が0になる。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (1+s-t)+(5+s+2t)+s}& {\displaystyle =0,}\\ {\displaystyle -(1+s-t)+2(5+s+2t)}& {\displaystyle =0}\end{array}$$である。整理すると $$3s+t+6=0,s+5t+9=0$$ となる。これを解いて $$s=-{\displaystyle \frac{3}{2}},t=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$$ を得る。

ここで$$u=s+{\displaystyle \frac{3}{2}},v=t+{\displaystyle \frac{3}{2}}$$とおく。直接展開すると$$D(s,t)={\displaystyle \frac{7}{2}}+3u^2+2uv+5v^2={\displaystyle \frac{7}{2}}+2u^2+(u+v{)}^2+4v^2\mathrm{.}$$したがってすべての実数$s,t$に対して$D(s,t)\geqq {\displaystyle \frac{7}{2}}$であり、等号は$u=v=0$、すなわち$s=t=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$のときだけ成り立つ。よって得られた点は確かに大域的最小点である。

このとき $$\overrightarrow{QP}=(1,{\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{3}{2}})$$ であるから、最小値の2乗は$$1^2+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+{(-{\displaystyle \frac{3}{2}})}^2=1+{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{9}{4}}={\displaystyle \frac{7}{2}}$$である。よって線分 $PQ$ の長さの最小値は $${\displaystyle \sqrt{{\displaystyle \frac{7}{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{2}}}$$ である。

最短の線分は、ねじれの位置にある2直線の方向ベクトルの両方に垂直になる。

2直線の方向ベクトルの両方に垂直なベクトルを、内積が0になる連立方程式から求める。任意の$\overrightarrow{QP}$はこの法線方向の成分が一定である。コーシー・シュワルツの不等式で下限を出し、実際に等号を達成する点を示す。

直線$l,m$の方向ベクトルを$$\mathit{a}=(1,1,1),\mathit{b}=(1,-2,0)$$とする。両方に垂直なベクトルを$\mathit{n}=(u,v,w)$とすると$$\mathit{n}\cdot \mathit{a}=0,\mathit{n}\cdot \mathit{b}=0.$$すなわち$$u+v+w=0,u-2v=0$$であるから$$\mathit{n}=(2,1,-3)$$と選べる。

直線上の点を$$P=(3,4,0)+s\mathit{a},Q=(2,-1,0)+t\mathit{b}$$とする。このとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{QP}\cdot \mathit{n}}& {\displaystyle =\{(1,5,0)+s\mathit{a}-t\mathit{b}\}\cdot \mathit{n}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1,5,0)\cdot (2,1,-3)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =7.}\end{array}$$コーシー・シュワルツの不等式より$$7\leqq \mathrm{\mid }\overrightarrow{QP}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\mathit{n}\mathrm{\mid }=\sqrt{14}\mathrm{\mid }\overrightarrow{QP}\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$したがって$$PQ\geqq {\displaystyle \frac{7}{\sqrt{14}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{2}}\mathrm{.}$$実際、$s=t=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$とすれば$$\overrightarrow{QP}=(1,{\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{3}{2}})={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathit{n}$$となり、等号が成り立つ。よって最小値は$${\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{2}}$$である。