京都大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(p) 正しい。

正 $n$ 角形の頂点は1つの円周上に並ぶ。隣り合う頂点に対応する中心角は $\frac{{360}^{\circ }}{n}$ である。

選んだ3頂点でできる三角形のある内角が ${60}^{\circ }$ であるとする。この角は、残り2頂点を結ぶ弧を見込む円周角である。円周角が ${60}^{\circ }$ なら、その見込む弧の中心角は ${120}^{\circ }$ である。

一方、その弧は正 $n$ 角形の辺間隔をいくつか集めたものなので、ある整数 $k$ を用いて $${120}^{\circ }=k\cdot \frac{{360}^{\circ }}{n}$$ と書ける。したがって $n=3k$ である。よって $n$ は3の倍数である。

(q) 正しくない。

反例を作る。2つの三角形で $$AB=A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}=2,BC=B^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}=\sqrt{3},\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }{A}^{\mathrm{\prime }}={30}^{\circ }$$ となるようにする。

この条件で、$AC=x$ とおく。辺 $BC$ は角 $A$ の向かい側の辺なので、余弦定理より $$(\sqrt{3}{)}^2=x^2+2^2-2\cdot x\cdot 2\cos {30}^{\circ }$$ である。$\cos {30}^{\circ }=\sqrt{3}\mathrm{/}2$ を用いると $3=x^2+4-2\sqrt{3}x$ すなわち $x^2-2\sqrt{3}x+1=0$ である。この方程式の解は $$x=\sqrt{3}+\sqrt{2},x=\sqrt{3}-\sqrt{2}$$ の2つである。どちらも正であり、対応する三角形は三角不等式を満たして実際に作れる。

したがって、同じ $AB$、同じ $BC$、同じ $\mathrm{\angle }A$ をもつにもかかわらず、$AC$ の長さが異なる2つの三角形が存在する。この2つは合同ではない。よって命題(q)は正しくない。