京都大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験（数学理系乙）理系（乙）数学 第2問

まず、$A,B,C,A^{\mathrm{\prime }},B^{\mathrm{\prime }},C^{\mathrm{\prime }}$ が同一円周上にあると仮定し、その円の中心を $O$ とする。中心 $O$ の円と中心 $A^{\mathrm{\prime }}$ の円は $B,C$ を共通点にもつから、2円の中心を結ぶ直線は共通弦 $BC$ に垂直である。したがって$$O{A}^{\mathrm{\prime }}\perp BC\mathrm{.}$$同様に$$O{B}^{\mathrm{\prime }}\perp CA\mathrm{.}$$また、中心 $A^{\mathrm{\prime }}$ の円と中心 $B^{\mathrm{\prime }}$ の円は $C,P$ を共通点にもつので$$A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}\perp CP\mathrm{.}$$$A^{\mathrm{\prime }},B^{\mathrm{\prime }}$ はともに中心 $O$ の円上にあるから $O{A}^{\mathrm{\prime }}=O{B}^{\mathrm{\prime }}$ であり、三角形 $O{A}^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}$ は二等辺三角形である。よって$$\mathrm{\angle }O{A}^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{\angle }O{B}^{\mathrm{\prime }}{A}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{.}$$$ABC$ は鋭角三角形で $P$ はその内部にあるから、$\alpha =\mathrm{\angle }BCP$、$\beta =\mathrm{\angle }PCA$ とおけば$$0<\alpha ,\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\mathrm{.}$$2直線を同時に ${90}^{\circ }$ 回転すると、直線どうしのなす鋭角は変わらない。したがって、$\mathrm{\angle }O{A}^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}$ は $\alpha$ または $\pi -\alpha$、$\mathrm{\angle }O{B}^{\mathrm{\prime }}{A}^{\mathrm{\prime }}$ は $\beta$ または $\pi -\beta$ である。これら2つの底角は等しい。一方、$$\alpha +\beta =\mathrm{\angle }BCA<\pi \mathrm{/}2$$ なので、一方が $\alpha$、他方が $\pi -\beta$ となる組合せは不可能である。よって、どちらの組合せでも$$\mathrm{\angle }BCP=\mathrm{\angle }PCA$$である。
同様にして $AP$ は角 $A$ を、$BP$ は角 $B$ を二等分する。$P$ は三角形の内部にあるから、$P$ は三角形 $ABC$ の内心である。

逆に、$P$ が内心 $I$ に一致すると仮定する。$A=\mathrm{\angle }BAC$ と書くと、内心の性質より$$\mathrm{\angle }BIC={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+{\displaystyle \frac{A}{2}}\mathrm{.}$$$A^{\mathrm{\prime }}$ は $B,C,I$ を通る円の中心である。円周角 $\mathrm{\angle }BIC$ が弧 $BC$ の大きい方に対応するので、小さい中心角は$$\mathrm{\angle }B{A}^{\mathrm{\prime }}C=2\pi -2\mathrm{\angle }BIC=\pi -A\mathrm{.}$$したがって$$\mathrm{\angle }BAC+\mathrm{\angle }B{A}^{\mathrm{\prime }}C=\pi$$であり、四角形 $AB{A}^{\mathrm{\prime }}C$ は円に内接する。その円は $A,B,C$ を通る三角形 $ABC$ の外接円であるから、$A^{\mathrm{\prime }}$ は外接円上にある。同様に $B^{\mathrm{\prime }},C^{\mathrm{\prime }}$ も同じ外接円上にある。

以上より、6点が同一円周上にあることと、$P$ が内心であることは同値である。

十分性で現れる配置

$P$ が内心のときの模式図。$A^{\mathrm{\prime }},B^{\mathrm{\prime }},C^{\mathrm{\prime }}$ は $\mathrm{△}ABC$ の外接円上に並ぶ。