京都大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第5問

まず $a=b$ の場合、等式はすべての
$\theta$ で成り立つので除く。以下 $a\mathrm{\ne }b$ とする。

和積公式より$$\cos a\theta -\cos b\theta =-2\sin \frac{(a+b)\theta }{2}\sin \frac{(a-b)\theta }{2}\mathrm{.}$$したがって正の解は$$\theta =\frac{2m\pi }{a+b}\text{または}\theta =\frac{2m\pi }{\mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }}(m=1,2,3,\dots )$$から得られる。

$a+b>\mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }$ に注意する。もし $a+b<2$ なら、どちらの形からも
$0<\theta \leqq \pi$ の解は出ない。一方 $a+b\geqq 4$ なら、
$a+b$ 側だけで $m=1,2$ に対応する2個以上の解が出る。よって
解がちょうど1個であるためには$$2\leqq a+b<4$$が必要である。このとき $a+b$ 側から出る解は$$\theta =\frac{2\pi }{a+b}$$の1個だけである。

さらに $\mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }\geqq 2$ なら$$\theta =\frac{2\pi }{\mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }}$$も区間内に入る。この解は $a,b>0$ より
$a+b>\mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }$ なので、先の解とは異なる。したがって追加の解を
生じさせないための必要十分条件は$$\mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }<2$$である。

逆に$$a>0,b>0,a\mathrm{\ne }b,2\leqq a+b<4,\mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }<2$$なら、$a+b$ 側からちょうど1個、$\mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }$ 側から0個の解が出る。
よってこれが求める必要十分条件である。

境界の包含関係まで示すと、求める範囲は次の斜線部である。