問題
空間内の4点，，，は同一平面上にないとする．点，，を次のように定める．点はを満たし，点は線分をに内分し，点は線分の中点である．さらに，直線上の点を，直線と直線が交点を持つように定める．このとき，線分の長さと線分の長さの比を求めよ．
方針
解法1（標準解法）
が同一平面上にないので， を一次独立な基底として扱う。 は直線 上にあるため とおく。直線 上の点と直線 上の点をそれぞれパラメータで表し，交点をもつ条件を3つの基底の係数比較に直す。最後に を確認して を求める。
解法2（平面の方程式を用いる方法）
を基底とする座標を入れる。直線 と直線 が交わるなら， は3点 の定める平面上にある。平面 の方程式に，直線 上の点 を代入して を決める。最後に2直線が平行でないことも確認する。
解答
解法1（標準解法）
とおく。4点 は同一平面上にないから， は一次独立である。
条件より
である。 は直線 上にあるので，ある実数 により と表せる。
直線 と直線 の交点を とする。 が直線 上にあることから，ある実数 を用いて
である。一方， が直線 上にあることから，ある実数 を用いて
である。
一次独立性より係数を比較すると
を得る。第1式と第3式から なので である。したがって であり，これを第2式へ代入すると となる。整理して
だから である。
よって は線分 上にあり， である。
解法2（平面の方程式を用いる方法）
を基底とし，各点をこの基底に関する座標で表す。すると
である。
3点 を通る平面は，切片形で
と表される。
一方， は直線 上にあるから，ある実数 によって
と書ける。直線 と直線 が交わるなら， は平面 上になければならない。よって
であり，，すなわち を得る。
実際，このとき
は平行でない。両直線は同一平面 上にあり，平行でもないので，確かに交点をもつ。
また だから は線分 上にある。したがって
である。