九州大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1)
点 $P(x_0,y_0)$ を通る傾き $m$ の直線を $y-y_0=m(x-x_0)$ とおく。すなわち $y=mx+y_0-m{x}_0$ である。これを双曲線 $y^2-x^2=1$ に代入すると $(mx+y_0-m{x}_0{)}^2-x^2=1$ である。これは $x$ についての2次方程式であり、直線が接線であるためには重解をもつ必要がある。

判別式を0とする代わりに、整理された接線条件を書き出すと $(y_0-m{x}_0{)}^2+m^2-1=0$ である。これを $m$ について整理して $$(x_0^2+1)m^2-2x_0{y}_{0}m+y_0^2-1=0$$ を得る。

2本の接線の傾きを $m_1,m_2$ とすると、この2次方程式の2解である。したがって解と係数の関係より $$m_1+m_2={\displaystyle \frac{2x_0{y}_0}{x_0^2+1}}$$ であり、$$m_1{m}_2={\displaystyle \frac{y_0^2-1}{x_0^2+1}}$$ である。

(2)
傾きの積が $k$ であるから、$(1)$ より $${\displaystyle \frac{y^2-1}{x^2+1}}=k$$ である。したがって $y^2-1=k(x^2+1)$ であり、$y^2-k{x}^2=1+k$ が候補となる。

ただし、問題では点 $P$ を通る接線が2本あるとされている。したがって $(1)$ で得た $m$ の2次方程式が異なる2つの実数解をもつ必要がある。その判別式は正でなければならないので $$(2xy{)}^2-4(x^2+1)(y^2-1)>0$$ である。整理すると $x^2-y^2+1>0$ となる。

候補の曲線上では $y^2=k{x}^2+1+k$ であるから、上の条件は $x^2-(k{x}^2+1+k)+1>0$ すなわち $(1-k)x^2-k>0$ である。 $-1<k<0$ のときは、$1-k>0$ かつ $-k>0$ であるから $(1-k)x^2-k>0$ はすべての実数 $x$ で成り立つ。したがってこの場合の軌跡は $y^2-k{x}^2=1+k$ の実際に点が存在する部分全体である。 $0<k<1$ のときは $(1-k)x^2>k$ すなわち $$x^2>{\displaystyle \frac{k}{1-k}}$$ が必要である。したがってこの場合の軌跡は $$y^2-k{x}^2=1+k,x^2>{\displaystyle \frac{k}{1-k}}$$ を満たす部分である。

傾き $m$ の双曲線の接線を $y=mx\pm \sqrt{1-m^2}$ と表す。点 $P$ を通る条件を平方して $m$ の2次方程式を作り、和・積と異なる2接線の条件を得る。

(1)
傾き $m$ の直線 $y=mx+c$ を双曲線へ代入する。接するときは$$(mx+c{)}^2-x^2=1$$が重解をもち、その条件を整理すると$$c^2=1-m^2\mathrm{.}$$したがって接線は$$y=mx\pm \sqrt{1-m^2}(\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }<1)$$と表せる。これが $P(x_0,y_0)$ を通る条件を平方すると$$(y_0-m{x}_0{)}^2=1-m^2\mathrm{.}$$よって2本の接線の傾きは$$(x_0^2+1)m^2-2x_0{y}_{0}m+y_0^2-1=0$$の2解である。解と係数の関係から$$m_1+m_2={\displaystyle \frac{2x_0{y}_0}{x_0^2+1}},m_1{m}_2={\displaystyle \frac{y_0^2-1}{x_0^2+1}}\mathrm{.}$$(2)
積が $k$ なので候補となる軌跡は$$y^2-k{x}^2=1+k\mathrm{.}$$ただし傾きの2次方程式が異なる2実解をもつ条件は$$x^2-y^2+1>0.$$候補の式を代入すると$$(1-k)x^2-k>0.$$したがって $-1<k<0$ では候補曲線の全体、$$y^2-k{x}^2=1+k,$$$0<k<1$ では$$y^2-k{x}^2=1+k,x^2>{\displaystyle \frac{k}{1-k}}$$を満たす部分が軌跡である。