九州大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
楕円上の点を $P(x_0,y_0)$ とする。楕円 $${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1$$ の $P$ における接線は $${\displaystyle \frac{x_{0}x}{4}}+y_{0}y=1$$ である。これが点 $(4,0)$ を通るので $${\displaystyle \frac{x_0\cdot 4}{4}}=1$$ より $x_0=1$ である。$P$ は第1象限内にあるから $y_0>0$ であり、楕円の式から ${\displaystyle \frac{1}{4}}+y_0^2=1$ より $$y_0={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ である。したがって $P(1,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$ である。

(2)
直線 $OP$ の方程式は $$y={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}x$$ である。求める部分は、$0\leqq x\leqq 1$ ではこの直線の下、$1\leqq x\leqq 2$ では楕円の上半分 $$y=\sqrt{1-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}}$$ の下にある。よって面積は $${\int }_0^1{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}xdx+{\int }_1^2\sqrt{1-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}}dx$$ である。

第1項は $${\int }_0^1{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}xdx={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}$$ である。第2項では $x=2\cos \theta$ とおく。$x=2$ のとき $\theta =0$、$x=1$ のとき $\theta =\pi \mathrm{/}3$ であり、$$dx=-2\sin \theta d\theta$$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_1^2\sqrt{1-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}}dx}& {\displaystyle =2{\int }_0^{\pi \mathrm{/}3}{\sin }^2\theta d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{[{\displaystyle \frac{\theta }{2}}-{\displaystyle \frac{\sin 2\theta }{4}}]}_0^{\pi \mathrm{/}3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}}\end{array}$$である。したがって求める面積は$${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}+({\displaystyle \frac{\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}})={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$である。

$x=2X,y=Y$ で楕円を単位円へ移す。接点は円の接線公式で求め、
囲まれた部分を中心角 $\pi \mathrm{/}3$ の扇形として計算し、面積倍率2を戻す。

$x=2X,y=Y$ とおくと楕円は単位円$$X^2+Y^2=1$$へ移り、点 $(4,0)$ は $(2,0)$ へ移る。

(1)
円上の接点を $(X_0,Y_0)$ とすると接線は
$X_{0}X+Y_{0}Y=1$ である。これが $(2,0)$ を通るので
$2X_0=1$。第1象限より$$(X_0,Y_0)=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})\mathrm{.}$$元へ戻して$$P=(1,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})\mathrm{.}$$(2)
単位円側で対応する部分は中心角 $\pi \mathrm{/}3$ の扇形で、面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{3}}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\mathrm{.}$$変換 $x=2X$ で面積は2倍になるから、求める面積は$${\displaystyle \frac{\pi }{3}}\mathrm{.}$$