九州大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
全事象は $N^3$ 通りである。$$p(1,1)={\displaystyle \frac{1}{N^3}}\mathrm{.}$$$U=1,V=j$ では、3個の数が $1,\dots ,j$ に入り、1と $j$ がともに現れる。したがって、$2\leqq j\leqq N$ に対し$$p(1,j)={\displaystyle \frac{j^3-2(j-1{)}^3+(j-2{)}^3}{N^3}}={\displaystyle \frac{6(j-1)}{N^3}}\mathrm{.}$$特に$$p(1,2)={\displaystyle \frac{6}{N^3}},p(1,3)={\displaystyle \frac{12}{N^3}}\mathrm{.}$$(2)
$R=0$ は3個がすべて等しい場合だから$$q(0)={\displaystyle \frac{N}{N^3}}={\displaystyle \frac{1}{N^2}}\mathrm{.}$$$1\leqq r\leqq N-1$ とする。最小値 $i$ は $1\leqq i\leqq N-r$ を動く。固定した $i$ に対し、3個の数が $i,\dots ,i+r$ に入り、両端がともに現れる場合は$$(r+1{)}^3-2r^3+(r-1{)}^3=6r$$通りである。よって$$q(r)={\displaystyle \frac{6r(N-r)}{N^3}}\mathrm{.}$$特に $$q(1)={\displaystyle \frac{6(N-1)}{N^3}}$$ である。

(3)
(2)より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(R)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{6}{N^3}}\sum _{r=1}^{N-1}{r}^2(N-r)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{6}{N^3}}\{N{\displaystyle \frac{(N-1)N(2N-1)}{6}}-{\left({\displaystyle \frac{(N-1)N}{2}}\right)}^2\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{N^2-1}{2N}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $${\displaystyle E(R)={\displaystyle \frac{N^2-1}{2N}}}$$ である。

最小値・最大値の同時分布は包除で数える。期待値だけは $R=V-U$ と、$U$ と $N+1-V$ の同分布性を使い、最大値の尾の確率から独立に求める。

(1)
全順序列は $N^3$ 通りである。3数が $1,\dots ,j$ に入り、1と $j$ がともに現れる列を包除で数えると、$j\geqq 2$ では$$j^3-2(j-1{)}^3+(j-2{)}^3=6(j-1)\mathrm{.}$$よって$$p(1,1)={\displaystyle \frac{1}{N^3}},p(1,j)={\displaystyle \frac{6(j-1)}{N^3}}(2\leqq j\leqq N)\mathrm{.}$$特に $p(1,2)=6\mathrm{/}{N}^3$、$p(1,3)=12\mathrm{/}{N}^3$ である。

(2)
$R=0$ は3数がすべて同じ場合なので$$q(0)={\displaystyle \frac{1}{N^2}}\mathrm{.}$$$1\leqq r\leqq N-1$ では最小値を $i$、最大値を $i+r$ とする選び方が $N-r$ 通りあり、各場合の順序列は$$(r+1{)}^3-2r^3+(r-1{)}^3=6r$$通りである。したがって$$q(r)={\displaystyle \frac{6r(N-r)}{N^3}}\mathrm{.}$$特に $q(1)=6(N-1)\mathrm{/}{N}^3$ である。

(3)
$R=V-U$ だから $E(R)=E(V)-E(U)$ である。また札の番号を $j\mapsto N+1-j$ と入れ替えると最小値と $N+1-V$ が対応するので$$E(U)=N+1-E(V)\mathrm{.}$$最大値について$$P(V\leqq j)={\left({\displaystyle \frac{j}{N}}\right)}^3$$である。尾の確率の和から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(V)}& {\displaystyle =\sum _{j=1}^{N}P(V\geqq j)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =N-{\displaystyle \frac{1}{N^3}}\sum _{j=0}^{N-1}{j}^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =N-{\displaystyle \frac{(N-1{)}^2}{4N}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(R)}& {\displaystyle =2E(V)-(N+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{N^2-1}{2N}}\mathrm{.}}\end{array}$$