九州大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

集合 $N$ は、頂点 $(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$ をもつひし形の周である。固定した $Q\in N$ に対し、$P$ は原点中心、半径 $a$ の円周上を動くので、$R=Q+P$ は中心 $Q$、半径 $a$ の円周上を動く。$Q$ をひし形の周上で動かすと、$R$ の動く範囲は、ひし形の周からの距離が $a$ 以下の点全体である。図としては、ひし形 $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }=1$ の周を中心線とする幅 $a$ の帯である。

まず外側へふくらむ部分を求める。ひし形の面積は、対角線の長さがともに $2$ であるから $${\displaystyle \frac{2\cdot 2}{2}}=2$$ である。また1辺の長さは $\sqrt{2}$ なので周の長さは $4\sqrt{2}$ である。周を外側へ距離 $a$ だけ平行に動かすと、各辺に沿う長方形部分の面積の合計が $4\sqrt{2}a$ となる。さらに4つの頂点でできる丸みは、外角の和が $2\pi$ であることから、合わせて半径 $a$ の円1個分、すなわち $\pi a^2$ である。したがって外側まで含めた図形の面積は $2+4\sqrt{2}a+\pi a^2$ である。

次に内側で覆われずに残る部分を調べる。ひし形 $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\leqq 1$ の中心から各辺までの距離は ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$ である。したがって $$0<a<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$ のとき、中心付近には周からの距離が $a$ より大きい点が残る。この残りは $$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }<1-\sqrt{2}a$$ で表される相似なひし形であり、その対角線の長さはどちらも $2(1-\sqrt{2}a)$ である。よって残るひし形の面積は $${\displaystyle \frac{2(1-\sqrt{2}a)\cdot 2(1-\sqrt{2}a)}{2}}=2(1-\sqrt{2}a{)}^2$$ である。

よって $$0<a<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$ のとき、求める面積 $S$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =2+4\sqrt{2}a+\pi a^2-2(1-\sqrt{2}a{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2+4\sqrt{2}a+\pi a^2-2(1-2\sqrt{2}a+2a^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =8\sqrt{2}a+(\pi -4)a^2\mathrm{.}}\end{array}$$一方、$${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\leqq a<1$$ のときは、ひし形の内側がすべて帯に含まれる。したがって面積は外側へふくらませた図形そのものであり、$$S=2+4\sqrt{2}a+\pi a^2$$ となる。

以上より、求める面積は$$S=\{\begin{array}{ll}8\sqrt{2}a+(\pi -4)a^2& (0<a<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}),\\ 2+4\sqrt{2}a+\pi a^2& ({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\leqq a<1)\mathrm{.}\end{array}$$図示では、ひし形の周を中心線とする帯を描き、$$a<1\mathrm{/}\sqrt{2}$$ では中央に相似なひし形の穴が残り、$a\geqq 1\mathrm{/}\sqrt{2}$ では穴がなくなることを明示する。

帯の形と中央の穴の有無は次図のようになる。

ひし形の各辺を外側へ距離 a だけ平行移動して得る4長方形と、頂点まわりの扇形を数える。内側では、辺から距離 a より大きい相似なひし形が残るかどうかを内接円半径で判定する。

固定した $Q\in N$ に対し、$R$ は中心 $Q$、半径 $a$ の円周上を動く。よって全体はひし形 $N$ の周の両側にできる幅 $a$ の帯である。

ひし形の面積は $2$、周長は $4\sqrt{2}$ である。外側部分は、もとのひし形、4辺に沿う長方形、外角を合わせて1周分になる扇形から成るので$$S_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}=2+4\sqrt{2}a+\pi a^2\mathrm{.}$$中心から各辺までの距離は $1\mathrm{/}\sqrt{2}$ である。$a<1\mathrm{/}\sqrt{2}$ なら、内側に$$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }<1-\sqrt{2}a$$という相似なひし形が穴として残り、その面積は$$S_{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{e}}=2(1-\sqrt{2}a{)}^2\mathrm{.}$$$a\geqq 1\mathrm{/}\sqrt{2}$ なら穴はない。したがって$$S=\{\begin{array}{ll}8\sqrt{2}a+(\pi -4)a^2& (0<a<1\mathrm{/}\sqrt{2}),\\ 2+4\sqrt{2}a+\pi a^2& (1\mathrm{/}\sqrt{2}\leqq a<1)\mathrm{.}\end{array}$$境界 $a=1\mathrm{/}\sqrt{2}$ では穴の面積が0になり、2式は一致する。