九州大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
弦 $AB$ が中心 $O$ で張る小さい方の角を $2\alpha$ とする。ただし $$0<\alpha \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ である。弦の長さは $AB=2\sin \alpha$ である。 $u=AP,v=PB$ と置くと、問題の座標は $a=u+v,b=u-v$ である。したがって $$u={\displaystyle \frac{a+b}{2}},v={\displaystyle \frac{a-b}{2}}$$ である。実際の距離なので $a\geqq \mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }$ も必要である。

点 $P$ が弦 $AB$ の小さい弧上にない側にあるとき、円周角の定理より $\mathrm{\angle }APB=\alpha$ である。余弦定理から $$A{B}^2=u^2+v^2-2uv\cos \alpha$$ である。ここに $u=(a+b)\mathrm{/}2$、$v=(a-b)\mathrm{/}2$ を代入すると$$4{\sin }^2\alpha ={\displaystyle \frac{(a+b{)}^2+(a-b{)}^2}{4}}-2\cdot {\displaystyle \frac{(a+b)(a-b)}{4}}\cos \alpha$$である。整理して $$(1-\cos \alpha )a^2+(1+\cos \alpha )b^2=8{\sin }^2\alpha$$ を得る。

一方、点 $P$ が反対側の弧上にあるとき、$\mathrm{\angle }APB=\pi -\alpha$ である。このとき余弦定理の $\cos$ の部分の符号が変わるため、$$(1+\cos \alpha )a^2+(1-\cos \alpha )b^2=8{\sin }^2\alpha$$ を得る。

したがって、点 $(a,b)$ の表す図形は $$(1-\cos \alpha )a^2+(1+\cos \alpha )b^2=8{\sin }^2\alpha$$ および $$(1+\cos \alpha )a^2+(1-\cos \alpha )b^2=8{\sin }^2\alpha$$ で表される2つのだ円のうち、条件 $a\geqq \mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }$ を満たす部分である。図では $a$ 軸の正方向側にある2つのだ円弧として描く。 $a=AP+PB$ が最大となるのは、$a$ 軸方向の長さが大きい方のだ円で、かつ $b=0$ の点である。上の2式のうち $$(1-\cos \alpha )a^2+(1+\cos \alpha )b^2=8{\sin }^2\alpha$$ の方が $a$ 軸方向に長い。$b=0$ とすると$$a^2={\displaystyle \frac{8{\sin }^2\alpha }{1-\cos \alpha }}={\displaystyle \frac{8(1-\cos \alpha )(1+\cos \alpha )}{1-\cos \alpha }}=8(1+\cos \alpha )$$であるから、$$a=4\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$$ となる。このとき $AP=PB$ なので、$P$ は $AB$ の垂直二等分線上、すなわち大きい弧の中点にある。

(2)
円の半径を $r$ とする。隣り合う点 $P_i,P_{i+1}$ が中心で張る角を $${\theta }_i(i=1,2,\dots ,n)$$ とする。ただし $P_{n+1}=P_1$ と見る。このとき $${\theta }_i>0,{\theta }_1+{\theta }_2+\cdots +{\theta }_n=2\pi$$ であり、弦の長さは $$P_i{P}_{i+1}=2r\sin {\displaystyle \frac{{\theta }_i}{2}}$$ である。したがって周長は $$L=2r\sum _{i=1}^n\sin {\displaystyle \frac{{\theta }_i}{2}}$$ である。

2つの正の角 $u,v$ を、和を保ったまま平均 $(u+v)\mathrm{/}2,(u+v)\mathrm{/}2$ に置き換えることを考える。このとき$$\sin {\displaystyle \frac{u}{2}}+\sin {\displaystyle \frac{v}{2}}=2\sin {\displaystyle \frac{u+v}{4}}\cos {\displaystyle \frac{u-v}{4}}\leqq 2\sin {\displaystyle \frac{u+v}{4}}$$であり、右辺は平均後の $\sin {\displaystyle \frac{u+v}{4}}+\sin {\displaystyle \frac{u+v}{4}}$ に等しい。等号は $u=v$ のときに限る。

したがって、2つの中心角が等しくないなら、それらを平均化することで周長を大きくできる。周長が最大であるためには、すべての中心角が等しくなければならない。よって $${\theta }_1={\theta }_2=\cdots ={\theta }_n={\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$$ であり、点 $P_1,P_2,\dots ,P_n$ は円周上に等間隔に並ぶ。すなわち、正 $n$ 角形の頂点として配列されているときに最大となる。

A,Bを偏角 ±α に置き、Pの偏角を φ とする。弦長を半角の正弦で表して a=AP+PB、b=AP-PB の関係を消去する。(2)は中心角の正弦和を平均化する。

(1)

(1) 半径1の円で $A,B$ の偏角を $-\alpha ,\alpha$ とする。$P$ が一方の弧上を動くとき、弦長公式$$AP=2\mid \sin {\displaystyle \frac{\phi +\alpha }{2}}\mid ,PB=2\mid \sin {\displaystyle \frac{\phi -\alpha }{2}}\mid$$を用いる。和積公式で $a=AP+PB,b=AP-PB$ から $\phi$ を消去すると$$(1-\cos \alpha )a^2+(1+\cos \alpha )b^2=8{\sin }^2\alpha$$を得る。反対の弧では係数が入れ替わる。実際の距離条件 $a\geqq \mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }$ を加えた2つのだ円弧が軌跡である。

$a$ が最大になるのは $b=0$、すなわち $AP=PB$ のときで、$P$ は大きい弧の中点にある。最大値は $4\cos (\alpha \mathrm{/}2)$ である。

(2) 隣接点間の中心角を ${\theta }_i>0$ とすれば $$\sum {\theta }_i=2\pi$$、周長は$$2r\sum _{i=1}^n\sin {\displaystyle \frac{{\theta }_i}{2}}\mathrm{.}$$2角をその平均で置き換えると正弦和は増加し、等号は2角が等しいときだけである。よって最大時には$${\theta }_1=\cdots ={\theta }_n={\displaystyle \frac{2\pi }{n}}\mathrm{.}$$したがって点は正 $n$ 角形の頂点として等間隔に並ぶ。