九州大学 1990年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)
まず $b\mathrm{\ne }-1$ とする。定数 $L$ が $L+bL=1$ を満たすように取ると $L={\displaystyle \frac{1}{1+b}}$ である。漸化式から $a_{k+1}-L=-b(a_k-L)$ となるので、$a_k-L$ は公比 $-b$ の等比数列である。したがって $a_k-L=(a_1-L)(-b{)}^{k-1}$ であり、$a_1=a$ より $$a_k={\displaystyle \frac{1}{1+b}}+(a-{\displaystyle \frac{1}{1+b}})(-b{)}^{k-1}$$ である。

次に $b=-1$ の場合、漸化式は $a_{k+1}-a_k=1$ となる。よって $a_k=a+k-1$ である。

(2) $b\mathrm{\ne }-1$ のとき、(1) の式を足し合わせて$$\sum _{k=1}^n{a}_k={\displaystyle \frac{n}{1+b}}+(a-{\displaystyle \frac{1}{1+b}})\sum _{k=1}^n(-b{)}^{k-1}$$である。等比数列の和より $$\sum _{k=1}^n(-b{)}^{k-1}={\displaystyle \frac{1-(-b{)}^n}{1+b}}$$ だから$$\sum _{k=1}^n{a}_k={\displaystyle \frac{n}{1+b}}+(a-{\displaystyle \frac{1}{1+b}}){\displaystyle \frac{1-(-b{)}^n}{1+b}}$$である。 $b=-1$ のときは $$\sum _{k=1}^n{a}_k=\sum _{k=1}^n(a+k-1)=na+{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}$$ である。

漸化式へ順に代入し、初項に掛かる項と定数から生じる有限等比和へ分ける。
$b\mathrm{\ne }-1$ で閉じた式に直し、$b=-1$ は有限和の式から別に整理する。

(1)
漸化式を繰り返し代入すると$$a_k=(-b{)}^{k-1}a+\sum _{j=0}^{k-2}(-b{)}^j\mathrm{.}$$$b\mathrm{\ne }-1$ なら$$a_k=(-b{)}^{k-1}a+{\displaystyle \frac{1-(-b{)}^{k-1}}{1+b}}={\displaystyle \frac{1}{1+b}}+(a-{\displaystyle \frac{1}{1+b}})(-b{)}^{k-1}\mathrm{.}$$$b=-1$ なら有限和から $a_k=a+k-1$ である。

(2)
$b\mathrm{\ne }-1$ では$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k}& {\displaystyle =a\sum _{j=0}^{n-1}(-b{)}^j+{\displaystyle \frac{1}{1+b}}\{n-\sum _{j=0}^{n-1}(-b{)}^j\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n}{1+b}}+(a-{\displaystyle \frac{1}{1+b}}){\displaystyle \frac{1-(-b{)}^n}{1+b}}\mathrm{.}}\end{array}$$$b=-1$ では$$\sum _{k=1}^n{a}_k=na+{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}\mathrm{.}$$