九州大学 1990年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)
曲線 $y=x^n$ の $P(t,t^n)$ における接線の傾きは $n{t}^{n-1}$ である。したがって法線の傾きは $-{\displaystyle \frac{1}{n{t}^{n-1}}}$ であり、法線の方程式は $$y-t^n=-{\displaystyle \frac{1}{n{t}^{n-1}}}(x-t)$$ である。これに $x=0$ を代入すると、$Q$ の $y$ 座標は $$t^n+{\displaystyle \frac{t}{n{t}^{n-1}}}=t^n+{\displaystyle \frac{1}{n}}{t}^{2-n}$$ である。 $0\leqq x\leqq t$ において、法線上の点の $y$ 座標は $t^n+{\displaystyle \frac{1}{n}}{t}^{2-n}-{\displaystyle \frac{x}{n{t}^{n-1}}}$ である。求める面積を $S(t)$ とすると $$S(t)={\int }_0^t(t^n+{\displaystyle \frac{1}{n}}{t}^{2-n}-{\displaystyle \frac{x}{n{t}^{n-1}}}-x^n)dx$$ である。各項を積分して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(t)}& {\displaystyle =t^{n+1}+{\displaystyle \frac{1}{n}}{t}^{3-n}-{\displaystyle \frac{1}{2n}}{t}^{3-n}-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}{t}^{n+1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n}{n+1}}{t}^{n+1}+{\displaystyle \frac{1}{2n}}{t}^{3-n}}\end{array}$$を得る。

(2) $t>0$ で $$S(t)={\displaystyle \frac{n}{n+1}}{t}^{n+1}+{\displaystyle \frac{1}{2n}}{t}^{3-n}$$ を微分すると $$S^{\mathrm{\prime }}(t)=n{t}^n+{\displaystyle \frac{3-n}{2n}}{t}^{2-n}$$ である。最小となる候補は $S^{\mathrm{\prime }}(t)=0$ を満たす点であり、これは $$n{t}^n={\displaystyle \frac{n-3}{2n}}{t}^{2-n}$$ すなわち $$t^{2n-2}={\displaystyle \frac{n-3}{2n^2}}$$ である。$n\geqq 4$ なので右辺は正で、解は $$t={\left({\displaystyle \frac{n-3}{2n^2}}\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{2n-2}}}$$ である。

また $t\to 0+$ では $t^{3-n}\to \mathrm{\infty }$、$t\to \mathrm{\infty }$ では $t^{n+1}\to \mathrm{\infty }$ であるから、この臨界点で面積は最小となる。

臨界点では $$t^{n+1}={\displaystyle \frac{n-3}{2n^2}}{t}^{3-n}$$ である。これを $S(t)$ に代入すると、最小値は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_{\min }}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n}{n+1}}\cdot {\displaystyle \frac{n-3}{2n^2}}{t}^{3-n}+{\displaystyle \frac{1}{2n}}{t}^{3-n}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n-1}{n(n+1)}}{t}^{3-n}}\end{array}$$である。したがって$$S_{\min }={\displaystyle \frac{n-1}{n(n+1)}}{\left({\displaystyle \frac{n-3}{2n^2}}\right)}^{{\displaystyle \frac{3-n}{2n-2}}}$$である。

$u=t^{n-1}$ とおき、面積を $u$ の正のべきと負のべきの和へ変える。
$u>0$ 上で微分し、唯一の臨界点と両端の増大から最小値を求める。

(1)
法線は$$y-t^n=-{\displaystyle \frac{x-t}{n{t}^{n-1}}},$$したがって $Q=(0,t^n+t^{2-n}\mathrm{/}n)$ である。法線と曲線の差を積分して$$S(t)={\displaystyle \frac{n}{n+1}}{t}^{n+1}+{\displaystyle \frac{1}{2n}}{t}^{3-n}\mathrm{.}$$(2)
$u=t^{n-1}>0$ とおくと$$S=u^{-{\displaystyle \frac{n-3}{n-1}}}({\displaystyle \frac{n}{n+1}}{u}^2+{\displaystyle \frac{1}{2n}})\mathrm{.}$$これを $u$ で微分すると、唯一の臨界点は$$u^2={\displaystyle \frac{n-3}{2n^2}}\mathrm{.}$$両端で $S\to \mathrm{\infty }$ なのでここで最小となり、$$t={\left({\displaystyle \frac{n-3}{2n^2}}\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{2n-2}}}\mathrm{.}$$この関係を面積式へ戻すと$$S_{\min }={\displaystyle \frac{n-1}{n(n+1)}}{\left({\displaystyle \frac{n-3}{2n^2}}\right)}^{{\displaystyle \frac{3-n}{2n-2}}}\mathrm{.}$$