九州大学 1990年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)
変換後の点を $(X,Y)$ とすると $X=cx+y,Y=2x+3y$ である。楕円上の点が半径 $1$ の円に移るので、楕円は $X^2+Y^2=1$ を $(x,y)$ で書いたものに等しい。すなわち $(cx+y{)}^2+(2x+3y{)}^2=1$ である。展開すると $$(c^2+4)x^2+2(c+6)xy+10y^2=1$$ となる。

これが $${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$$ という座標軸に平行な楕円の式と一致するためには、$xy$ の係数が $0$ でなければならない。よって $2(c+6)=0$ から $c=-6$ である。このとき $$(c^2+4)x^2+10y^2=40x^2+10y^2$$ だから $${\displaystyle \frac{1}{a^2}}=40,{\displaystyle \frac{1}{b^2}}=10$$ である。$a,b>0$ より $$a={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{10}}},b={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}},c=-6$$ である。

(2)
長方形の各辺は座標軸に平行で、楕円は原点に関して対称である。したがって長方形の頂点を $$(\pm u,\pm v)(u>0,v>0)$$ とおける。楕円上にある条件は $40u^2+10v^2=1$ である。

横方向の辺ベクトル $(2u,0)$ は、変換によって $(2u,0)\mapsto (-12u,4u)$ に移る。縦方向の辺ベクトル $(0,2v)$ は $(0,2v)\mapsto (2v,6v)$ に移る。これらの内積は $(-12u)(2v)+(4u)(6v)=0$ であるから、移った後の隣り合う辺は直交している。

正方形になるには、さらにこの2つの辺の長さが等しければよい。したがって $$\sqrt{(-12u{)}^2+(4u{)}^2}=\sqrt{(2v{)}^2+(6v{)}^2}$$ であり、$$4\sqrt{10}u=2\sqrt{10}v$$ より $v=2u$ である。これを楕円条件に代入すると $40u^2+10(2u{)}^2=80u^2=1$ だから $$u={\displaystyle \frac{1}{4\sqrt{5}}},v={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{5}}}$$ である。

したがって求める長方形は $(\pm {\displaystyle \frac{1}{4\sqrt{5}}},\pm {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{5}}})$ を頂点にもつ長方形である。

楕円を $(a\cos \theta ,b\sin \theta )$ と媒介表示し、その像の長さが常に1
となる条件を係数比較する。長方形は二つの辺ベクトルの像の長さを比べる。

(1)
楕円上の点を$$(x,y)=(a\cos \theta ,b\sin \theta )$$とする。行列の列ベクトルを
$\mathit{u}=(c,2)$、$\mathit{v}=(1,3)$ とおくと、像は
$a\cos \theta \mathit{u}+b\sin \theta \mathit{v}$ である。
その長さが常に1となるには$$ab(\mathit{u}\cdot \mathit{v})=ab(c+6)=0,$$$$a^2(c^2+4)=1,10b^2=1$$が必要十分である。$a,b>0$ より$$c=-6,a={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{10}}},b={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}}\mathrm{.}$$(2)
頂点を $(\pm u,\pm v)$ とおくと$$40u^2+10v^2=1.$$横辺と縦辺の像はそれぞれ $(-12u,4u)$、$(2v,6v)$ で、内積は0。
長さが等しい条件は$$4\sqrt{10}u=2\sqrt{10}v,$$すなわち $v=2u$ である。よって$$u={\displaystyle \frac{1}{4\sqrt{5}}},v={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{5}}}\mathrm{.}$$