九州大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)
接点を$P=(x,y)$とする。円の中心は$(0,t)$であるから、半径方向のベクトルは $(x,y-t)$ であり、原点から接点へ向かう接線方向のベクトルは $(x,y)$ である。半径と接線は直交するので $x^2+y(y-t)=0$ である。また$P$は円上にあるから $x^2+(y-t{)}^2=r^2$ である。これらを解くと $$y=t-{\displaystyle \frac{r^2}{t}},x={\displaystyle \frac{r\sqrt{t^2-r^2}}{t}}$$ である。正の傾きの接線を考えるので$x>0$をとる。 $0<t\leqq 1$では$r=t\mathrm{/}\sqrt{2}$であるから $$x={\displaystyle \frac{t}{2}},y={\displaystyle \frac{t}{2}}$$ である。したがって軌跡は $$y=x,0<x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。 $t>1$では$r^2=t\mathrm{/}2$であるから $y=t-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。また $$x^2={\displaystyle \frac{r^2(t^2-r^2)}{t^2}}={\displaystyle \frac{t-1\mathrm{/}2}{2}}$$ なので $y=2x^2$ である。このとき$t>1$より$x>1\mathrm{/}2$である。したがって軌跡は、$0<x\leqq 1\mathrm{/}2$で直線$y=x$、$x>1\mathrm{/}2$で放物線$y=2x^2$をつないだ曲線である。

(2)
求める図形は、下側が$y=1\mathrm{/}4$、右端が$x=1$、上側が(1)で求めた曲線である。$1\mathrm{/}4\leqq x\leqq 1\mathrm{/}2$では上側が$y=x$、$1\mathrm{/}2\leqq x\leqq 1$では上側が$y=2x^2$である。

したがって、$x$軸のまわりに回転してできる体積$V$は$$V=\pi {\int }_{1\mathrm{/}4}^{1\mathrm{/}2}(x^2-{\displaystyle \frac{1}{16}})dx+\pi {\int }_{1\mathrm{/}2}^1((2x^2{)}^2-{\displaystyle \frac{1}{16}})dx$$である。計算すると $${\int }_{1\mathrm{/}4}^{1\mathrm{/}2}(x^2-{\displaystyle \frac{1}{16}})dx={\displaystyle \frac{1}{48}}$$ であり$${\int }_{1\mathrm{/}2}^1(4x^4-{\displaystyle \frac{1}{16}})dx={\displaystyle \frac{119}{160}}$$となる。よって $$V={\displaystyle \frac{367\pi }{480}}$$ である。

接線を $y=kx$ とおく。中心から直線までの距離が半径 $r$ に等しい条件と、中心から直線へ下ろした垂線の足の公式から接点を求める。回転体は円板差を2区間で積分する。

(1)
$l:y=kx(k>0)$ とおく。中心 $(0,t)$ から $l$ までの距離が $r$ だから$${\displaystyle \frac{tk}{\sqrt{k^2+1}}}=r\mathrm{.}$$中心から $l$ への垂足、すなわち接点は$$P=({\displaystyle \frac{tk}{k^2+1}},{\displaystyle \frac{t{k}^2}{k^2+1}})\mathrm{.}$$距離条件を用いて消去すると$$x={\displaystyle \frac{r\sqrt{t^2-r^2}}{t}},y=t-{\displaystyle \frac{r^2}{t}}\mathrm{.}$$$0<t\leqq 1$ では $r=t\mathrm{/}\sqrt{2}$ より$$x=y={\displaystyle \frac{t}{2}},$$従って $y=x,0<x\leqq 1\mathrm{/}2$。$t>1$ では $r^2=t\mathrm{/}2$ より$$y=t-{\displaystyle \frac{1}{2}},x^2={\displaystyle \frac{t-1\mathrm{/}2}{2}},$$従って$$y=2x^2,x>{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$(2)$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi {\int }_{1\mathrm{/}4}^{1\mathrm{/}2}(x^2-{\displaystyle \frac{1}{16}})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +\pi {\int }_{1\mathrm{/}2}^1(4x^4-{\displaystyle \frac{1}{16}})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi ({\displaystyle \frac{1}{48}}+{\displaystyle \frac{119}{160}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{367\pi }{480}}\mathrm{.}}\end{array}$$\Needspace{9cm}