九州大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

問題の初項を$x_1=a$と読む。与えられた関係 $$x_n={\displaystyle \frac{b{x}_{n+1}}{1-x_{n+1}}}$$ を$x_{n+1}$について解くと $x_n(1-x_{n+1})=b{x}_{n+1}$ より $$x_{n+1}={\displaystyle \frac{x_n}{b+x_n}}$$ である。$a>0$, $b>0$なので、すべての$n$で$x_n>0$である。

(1)
$y_n={\displaystyle \frac{1}{x_n}}$ とおく。すると $$y_{n+1}={\displaystyle \frac{b+x_n}{x_n}}=b{y}_n+1$$ であり $y_1={\displaystyle \frac{1}{a}}$ である。 $b=1$のとき $y_{n+1}=y_n+1$ だから $y_n={\displaystyle \frac{1}{a}}+n-1$ である。よって $$x_n={\displaystyle \frac{a}{1+a(n-1)}}$$ である。 $b\mathrm{\ne }1$のとき、一次漸化式を解いて $$y_n=b^{n-1}{y}_1+1+b+\cdots +b^{n-2}$$ である。したがって $$y_n={\displaystyle \frac{b^{n-1}}{a}}+{\displaystyle \frac{b^{n-1}-1}{b-1}}$$ であり $$x_n={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle {\displaystyle \frac{b^{n-1}}{a}}+{\displaystyle \frac{b^{n-1}-1}{b-1}}}}}$$ である。

(2)
$b=1$のとき、(1)より$y_n\to \mathrm{\infty }$なので $x_n\to 0$ である。$b>1$のときも$b^{n-1}\to \mathrm{\infty }$であり、$y_n\to \mathrm{\infty }$だから $x_n\to 0$ である。 $0<b<1$のとき、$b^{n-1}\to 0$であり $${\displaystyle \frac{b^{n-1}-1}{b-1}}\to {\displaystyle \frac{1}{1-b}}$$ だから $y_n\to {\displaystyle \frac{1}{1-b}}$ である。よって $x_n\to 1-b$ である。

以上より$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\{\begin{array}{ll}1-b& (0<b<1),\\ 0& (b\geqq 1)\end{array}$$である。

漸化式を一次化する代わりに、写像 $T(x)=x\mathrm{/}(b+x)$ の2つの不動点 $0,1-b$ を使う。比 $1-(1-b)\mathrm{/}{x}_n$ は毎回 $b$ 倍されるため、反復を直接解ける。

与式は$$x_{n+1}={\displaystyle \frac{x_n}{b+x_n}}$$と同値である。

(1)
$b\mathrm{\ne }1$ とし$$z_n=1-{\displaystyle \frac{1-b}{x_n}}$$とおく。すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle z_{n+1}}& {\displaystyle =1-{\displaystyle \frac{(1-b)(b+x_n)}{x_n}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =b(1-{\displaystyle \frac{1-b}{x_n}})=b{z}_n\mathrm{.}}\end{array}$$従って$$1-{\displaystyle \frac{1-b}{x_n}}=b^{n-1}(1-{\displaystyle \frac{1-b}{a}}),$$すなわち$$x_n={\displaystyle \frac{a(1-b)}{a-b^{n-1}(a+b-1)}}(b\mathrm{\ne }1)\mathrm{.}$$$b=1$ では$${\displaystyle \frac{1}{x_{n+1}}}={\displaystyle \frac{1}{x_n}}+1$$だから$$x_n={\displaystyle \frac{a}{1+a(n-1)}}\mathrm{.}$$(2)
$b\geqq 1$ では上式から $x_n\to 0$。$0<b<1$ では $b^{n-1}\to 0$ なので$$x_n⟶1-b\mathrm{.}$$従って$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\{\begin{array}{ll}1-b& (0<b<1),\\ 0& (b\geqq 1)\mathrm{.}\end{array}$$