九州大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験 ベクトル・図形と方程式文系数学 第4問(c)

(1) $P=(x,y,z)$ とおく。このとき $$\overrightarrow{AP}=(x-1,y,z)$$ であり、$$\overrightarrow{BP}=(x,y-2,z),\overrightarrow{CP}=(x,y,z-3)$$ だから $$\overrightarrow{BP}+2\overrightarrow{CP}=(3x,3y-2,3z-6)$$ である。

したがって条件 $$\overrightarrow{AP}\cdot (\overrightarrow{BP}+2\overrightarrow{CP})=0$$ は $$(x-1)3x+y(3y-2)+z(3z-6)=0$$ すなわち $$3x^2+3y^2+3z^2-3x-2y-6z=0$$ である。3で割って平方完成すると $$x^2+y^2+z^2-x-{\displaystyle \frac{2}{3}}y-2z=0$$ より$${(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{(y-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^2+(z-1{)}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{9}}+1={\displaystyle \frac{49}{36}}$$となる。よって $P$ は定点 $$Q=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{3}},1)$$ から一定距離 ${\displaystyle \frac{7}{6}}$ にある。

(2)
3点 $A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3)$ を通る平面は切片形で $$x+{\displaystyle \frac{y}{2}}+{\displaystyle \frac{z}{3}}=1$$ と書ける。ここに $Q$ を代入すると $${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}=1$$ である。したがって $Q$ は3点 $A,B,C$ を通る平面上にある。

(3)
四面体 $ABCP$ の底面を $\mathrm{△}ABC$ と見る。まず $$\overrightarrow{AB}=(-1,2,0),\overrightarrow{AC}=(-1,0,3)$$ であるから、底面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{(2\cdot 3{)}^2+(3\cdot 1{)}^2+(1\cdot 2{)}^2}={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{36+9+4}={\displaystyle \frac{7}{2}}$$である。

(2) より球の中心 $Q$ は底面の平面上にある。したがって、球面上の点 $P$ からこの平面までの距離の最大値は球の半径 ${\displaystyle \frac{7}{6}}$ である。よって体積の最大値は $${\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{7}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{7}{6}}={\displaystyle \frac{49}{36}}$$ である。

内積条件を、点を表す位置ベクトルの二次式としてまとめる。
球の中心は $A,B,C$ の係数の和が1となるアフィン結合で表されるため、
平面上にあることも同時に分かる。

$A,B,C,P$ の位置ベクトルをそれぞれ
$\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{p}$ とする。座標軸上の3点なので$$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{c}=\vec{c}\cdot \vec{a}=0.$$条件を展開すると$$(\vec{p}-\vec{a})\cdot (3\vec{p}-\vec{b}-2\vec{c})=0,$$従って$$3\mathrm{\mid }\vec{p}{\mathrm{\mid }}^2-\vec{p}\cdot (3\vec{a}+\vec{b}+2\vec{c})=0.$$ここで$$\vec{q}={\displaystyle \frac{1}{2}}\vec{a}+{\displaystyle \frac{1}{6}}\vec{b}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\vec{c}$$とおけば$$\mathrm{\mid }\vec{p}-\vec{q}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{q}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{.}$$(1)$$\vec{a}=(1,0,0),\vec{b}=(0,2,0),\vec{c}=(0,0,3)$$ より$$Q=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{3}},1),\mathrm{\mid }Q\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{7}{6}}\mathrm{.}$$従って軌跡は中心 $Q$、半径 $7\mathrm{/}6$ の球面である。

(2)
$Q$ は $A,B,C$ の係数の和が$${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}=1$$となるアフィン結合であるから、平面 $ABC$ 上にある。

(3) $$\overrightarrow{AB}=(-1,2,0),\overrightarrow{AC}=(-1,0,3)$$より底面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{7}{2}}\mathrm{.}$$球の中心が底面上にあるので、高さの最大値は半径 $7\mathrm{/}6$ である。
従って最大体積は$${\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{7}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{7}{6}}={\displaystyle \frac{49}{36}}\mathrm{.}$$