九州大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)

線分 $AB$ の向きを表す単位ベクトルを $$u(t)=(\cos \theta (t),\sin \theta (t))$$ とおく。このとき問題文の $e(t)$ は $$e(t)=(-\sin \theta (t),\cos \theta (t))$$ であり、$u^{\mathrm{\prime }}(t)={\theta }^{\mathrm{\prime }}(t)e(t)$ である。

中点が $P$、半分の長さが $l$ だから $A=P-lu,B=P+lu$ と表せる。両辺を時刻 $t$ で微分すると$$\overrightarrow{v_A}=\overrightarrow{v}-l{\theta }^{\mathrm{\prime }}e,\overrightarrow{v_B}=\overrightarrow{v}+l{\theta }^{\mathrm{\prime }}e$$である。よって和と差を取って$$\overrightarrow{v}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{v_A}+\overrightarrow{v_B}}{2}},{\theta }^{\mathrm{\prime }}(t)e(t)={\displaystyle \frac{\overrightarrow{v_B}-\overrightarrow{v_A}}{2l}}$$を得る。

(2)

条件より $$\overrightarrow{v_A}=te(t),\overrightarrow{v_B}=(t+2)e(t)$$ である。したがって(1)から $$\overrightarrow{v}=(t+1)e(t),{\theta }^{\mathrm{\prime }}(t)e(t)={\displaystyle \frac{1}{l}}e(t)$$ となる。$e(t)$ は零ベクトルでないので ${\theta }^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{1}{l}}$ であり、$\theta (0)=0$ より $$\theta (t)={\displaystyle \frac{t}{l}}$$ である。

また $P=(x(t),y(t))$ とおくと $$(x^{\mathrm{\prime }}(t),y^{\mathrm{\prime }}(t))=(t+1)(-\sin (t\mathrm{/}l),\cos (t\mathrm{/}l))$$ である。すなわち $$x^{\mathrm{\prime }}(t)=-(t+1)\sin {\displaystyle \frac{t}{l}},y^{\mathrm{\prime }}(t)=(t+1)\cos {\displaystyle \frac{t}{l}}$$ である。

ここで$${\displaystyle \frac{d}{dt}}\{l(t+1)\cos {\displaystyle \frac{t}{l}}-l^2\sin {\displaystyle \frac{t}{l}}\}=-(t+1)\sin {\displaystyle \frac{t}{l}}$$であり、$x(0)=l$ をみたす。よって $$x(t)=l(t+1)\cos {\displaystyle \frac{t}{l}}-l^2\sin {\displaystyle \frac{t}{l}}$$ である。同様に$${\displaystyle \frac{d}{dt}}\{l(t+1)\sin {\displaystyle \frac{t}{l}}+l^2\cos {\displaystyle \frac{t}{l}}\}=(t+1)\cos {\displaystyle \frac{t}{l}}$$であり、$y(0)=l^2$ をみたすから $$y(t)=l(t+1)\sin {\displaystyle \frac{t}{l}}+l^2\cos {\displaystyle \frac{t}{l}}$$ である。

最後に距離を求める。上の式は、ベクトル $(l(t+1),l^2)$ を角 $t\mathrm{/}l$ だけ回転した形になっている。回転では長さが変わらないので $$d(t{)}^2=x(t{)}^2+y(t{)}^2=l^2(t+1{)}^2+l^4$$ である。したがって $$d(t)=l\sqrt{(t+1{)}^2+l^2}$$ である。

線分方向を複素数 $e^{i\theta }$、垂直方向を $i{e}^{i\theta }$ で表す。
端点速度の平均と差から中点速度・角速度を求め、中点の位置を
回転する複素ベクトルとして一度に積分する。

点の位置を複素数で表し、線分方向を $u=e^{i\theta }$ とする。
垂直方向は $iu=e(t)$ に対応する。中点の位置を $z$ とすれば$$z_A=z-lu,z_B=z+lu\mathrm{.}$$(1)
微分して$$v_A=z^{\mathrm{\prime }}-il{\theta }^{\mathrm{\prime }}u,v_B=z^{\mathrm{\prime }}+il{\theta }^{\mathrm{\prime }}u\mathrm{.}$$よって$$v=z^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{v_A+v_B}{2}},{\theta }^{\mathrm{\prime }}e={\theta }^{\mathrm{\prime }}iu={\displaystyle \frac{v_B-v_A}{2l}}\mathrm{.}$$(2)
仮定から$$z^{\mathrm{\prime }}=(t+1)i{e}^{i\theta },{\theta }^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{l}}\mathrm{.}$$初期条件より $\theta =t\mathrm{/}l$ である。ここで$$z(t)=\{l(t+1)+i{l}^2\}{e}^{it\mathrm{/}l}$$とおくと$$z^{\mathrm{\prime }}(t)=(t+1)i{e}^{it\mathrm{/}l}$$であり、$z(0)=l+i{l}^2$ も満たす。実部・虚部を取れば$$x=l(t+1)\cos {\displaystyle \frac{t}{l}}-l^2\sin {\displaystyle \frac{t}{l}},$$$$y=l(t+1)\sin {\displaystyle \frac{t}{l}}+l^2\cos {\displaystyle \frac{t}{l}}\mathrm{.}$$また $\mathrm{\mid }{e}^{it\mathrm{/}l}\mathrm{\mid }=1$ だから$$d(t)=\mathrm{\mid }z(t)\mathrm{\mid }=l\sqrt{(t+1{)}^2+l^2}\mathrm{.}$$