九州大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験 ベクトル理系数学 第5問(c)

(1) $$\vec{d}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}$$ とおく。両辺に $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ をそれぞれ内積すると，条件より$$\{\begin{array}{l}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}y=1,\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}x+y-{\displaystyle \frac{1}{2}}z=0,\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}y+z=0\end{array}$$を得る。第三式より $z=y\mathrm{/}2$ であり，これを第二式に代入すると $$-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+y-{\displaystyle \frac{1}{4}}y=0$$ すなわち $x={\displaystyle \frac{3}{2}}y\mathrm{.}$ 第一式に代入して ${\displaystyle \frac{3}{2}}y-{\displaystyle \frac{1}{2}}y=1$ より $y=1$ である。したがって $$x={\displaystyle \frac{3}{2}},z={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ であり，$$\vec{d}={\displaystyle \frac{3}{2}}\vec{a}+\vec{b}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\vec{c}$$ である。

同様に $$\vec{f}=s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c}$$ とおく。$\vec{f}$ の内積条件から$$\{\begin{array}{l}s-{\displaystyle \frac{1}{2}}t=0,\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}s+t-{\displaystyle \frac{1}{2}}u=0,\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}t+u=1\end{array}$$である。第一式より $s=t\mathrm{/}2$，第三式より $u=1+t\mathrm{/}2$。これらを第二式に代入すると $$-{\displaystyle \frac{1}{4}}t+t-{\displaystyle \frac{1}{2}}(1+{\displaystyle \frac{1}{2}}t)=0$$ より ${\displaystyle \frac{1}{2}}t-{\displaystyle \frac{1}{2}}=0$ なので $t=1$ である。したがって $$s={\displaystyle \frac{1}{2}},u={\displaystyle \frac{3}{2}}$$ であり，$$\vec{f}={\displaystyle \frac{1}{2}}\vec{a}+\vec{b}+{\displaystyle \frac{3}{2}}\vec{c}$$ である。

(2)

まず $\vec{d}$ の大きさを求める。 $$\vec{d}={\displaystyle \frac{3}{2}}\vec{a}+\vec{b}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\vec{c}$$ なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }\vec{d}{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle ={\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2+1^2+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+2\cdot {\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot 1(-{\displaystyle \frac{1}{2}})+2\cdot 1\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}(-{\displaystyle \frac{1}{2}})+2\cdot {\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 0}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{9}{4}}+1+{\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$同様に，$\vec{f}$ は $\vec{a}$ と $\vec{c}$ の係数が入れ替わった形で，条件も対称なので $\mathrm{\mid }\vec{f}{\mathrm{\mid }}^2={\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{.}$ また $$\vec{d}-\vec{f}=\vec{a}-\vec{c}$$ であり，$\vec{a}\cdot \vec{c}=0$ だから $$\mathrm{\mid }\vec{d}-\vec{f}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2=2.$$ よって$$\mathrm{\mid }\vec{d}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{f}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}},\mathrm{\mid }\vec{d}-\vec{f}\mathrm{\mid }=\sqrt{2}$$である。

(3)

三角形 $ODF$ の二辺は $\vec{d},\vec{f}$ である。まず $$\mathrm{\mid }\vec{d}-\vec{f}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{d}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{f}{\mathrm{\mid }}^2-2\vec{d}\cdot \vec{f}$$ より $$2={\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}-2\vec{d}\cdot \vec{f}$$ なので $$\vec{d}\cdot \vec{f}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$ したがって面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle [ODF]}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{\mathrm{\mid }\vec{d}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }\vec{f}{\mathrm{\mid }}^2-(\vec{d}\cdot \vec{f}{)}^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{2}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$(4)

条件より $$\vec{b}\cdot \vec{d}=0,\vec{b}\cdot \vec{f}=0$$ である。したがって $\vec{b}$ は，$\vec{d}$ と $\vec{f}$ が張る平面，すなわち平面 $ODF$ に垂直である。しかも $\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=1$ であるから，$\vec{b}$ は平面 $ODF$ の単位法線ベクトルである。

点 $E$ の位置ベクトルは $\vec{e}$ であり，$\vec{b}\cdot \vec{e}=1$ である。したがって点 $E$ から平面 $ODF$ までの高さは $\mathrm{\mid }\vec{b}\cdot \vec{e}\mathrm{\mid }=1$ である。よって四面体 $ODEF$ の体積は$${\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot [ODF]\cdot 1={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}}\mathrm{.}$$

求める $\vec{d},\vec{f}$ の候補を内積条件へ直接代入して確認する。係数表示と双対的な内積条件を組み合わせると、長さや相互内積を展開せずに読める。面積と高さから体積を求める。

$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ は一次独立である。実際、その一次結合が0なら各ベクトルとの内積から得る連立式の解は係数すべて0である。

(1)
候補$$\vec{d}={\displaystyle \frac{3}{2}}\vec{a}+\vec{b}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\vec{c},\vec{f}={\displaystyle \frac{1}{2}}\vec{a}+\vec{b}+{\displaystyle \frac{3}{2}}\vec{c}$$を $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ と内積すると、問題の6条件を満たす。一次独立性によりこれが唯一の表示である。

(2)
双対条件を使えば$$\mathrm{\mid }\vec{d}{\mathrm{\mid }}^2=\vec{d}\cdot ({\displaystyle \frac{3}{2}}\vec{a}+\vec{b}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\vec{c})={\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{.}$$同様に $\mathrm{\mid }\vec{f}{\mathrm{\mid }}^2=3\mathrm{/}2$。また$$\vec{d}\cdot \vec{f}={\displaystyle \frac{1}{2}},\vec{d}-\vec{f}=\vec{a}-\vec{c}$$なので$$\mathrm{\mid }\vec{d}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{f}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}},\mathrm{\mid }\vec{d}-\vec{f}\mathrm{\mid }=\sqrt{2}\mathrm{.}$$(3)$$[ODF]={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{\mathrm{\mid }\vec{d}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }\vec{f}{\mathrm{\mid }}^2-(\vec{d}\cdot \vec{f}{)}^2}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\mathrm{.}$$(4)
$\vec{b}$ は $\vec{d},\vec{f}$ に垂直な単位ベクトルで、$$\vec{b}\cdot \vec{e}=1.$$従って $E$ から平面 $ODF$ までの高さは1。体積は$${\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\cdot 1={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}}\mathrm{.}$$