問題
0でない2つの整式，が以下の恒等式を満たすとする。
以下の問いに答えよ。
(1) の次数との次数はともに2以下であることを示せ。
(2) とを求めよ。
方針
解法1
まず次数だけで候補を2次以下に絞る。第1式では左辺の次数が 、右辺の次数が になるので、 が得られる。これを第2式の次数比較に入れると、高次の場合は左辺の次数が右辺の最大次数を上回って矛盾する。2次以下まで落とした後は、 を一般の2次式で置き、2つの恒等式を係数比較して一意に決める。
解法2
次数比較で2次以下を示した後、第1式の偶奇性を利用して を最初から偶関数として置く。未知係数を2個まで減らし、第2式の係数比較を短く行う。
解答
解法1
(1)
、 は0でないので、それぞれの次数を とおく。第1式 では、左辺の次数は であり、右辺の最高次項は から出るので次数は である。したがって が成り立つ。特に である。
ここで と仮定する。このとき である。第2式 の左辺の次数は である。一方、右辺の次数は高くても である。 なら左辺の次数は 、右辺の次数は高くても で矛盾する。 なら であるから、次数の一致には が必要である。しかしこれは を意味し、 に反する。したがって は不可能であり、 である。さらに より も従う。
(2)
(1)より とおける。第1式に代入すると である。右辺を展開して係数を比較すると を得る。
次に第2式へ代入する。 なので であり、右辺は である。これを整理すると である。係数比較により となる。よって であり、さらに から を得る。また 、 である。したがって である。
解法2
(1)
、 とする。第1式の最高次数を比べると
である。特に である。もし なら、第2式の左辺の次数は
である。一方、右辺の次数は高くても
である。 では だから矛盾する。よって 、さらに である。
(2)
第1式の左辺と定数7は偶関数であり、 は0にならないから、 も偶関数である。(1)より
とおける。第1式は
となるので、文字 を用いれば
である。これを第2式へ代入すると
を得る。係数比較により
だから、、 である。したがって
である。