問題
4個のサイコロを同時に投げるとき，出る目すべての積をXとする。以下の問いに答えよ。
(1) Xが25の倍数になる確率を求めよ。
(2) Xが4の倍数になる確率を求めよ。
(3) Xが100の倍数になる確率を求めよ。
方針
解法1（素因数の指数で場合分けする）
積が何の倍数になるかを、各サイコロの目に含まれる素因数2と5の指数で判定する。全事象を順序つきの 通りに統一し、(1)は5の個数、(2)は2の指数が2未満となる余事象、(3)は5の個数ごとに2の指数条件を調べる。
解法2（母関数で3問を統一して数える）
各目を、2の指数を表す と5の指数を表す の単項式に対応させる。1回の出目に対する母関数 を作れば、4個のサイコロは で表せる。必要な係数だけを取り出して3問を同じ枠組みで処理する。
解答
解法1（素因数の指数で場合分けする）
全事象は、4個のサイコロを区別して 通りである。
(1)
であり、1から6までの目で5の因数をもつのは5だけである。したがって が25の倍数となるには、4個のうち少なくとも2個が5であればよい。
5がちょうど2個、3個、4個出る場合を数えると 通りである。よって求める確率は である。
(2)
が4の倍数でないのは、積に含まれる2の個数が合計で0個または1個の場合である。各目について、2の因数をもたない目は の3個、2の因数をちょうど1個もつ目は の2個である。
したがって、4の倍数でない出方は 通りである。よって求める確率は余事象を用いて である。
(3)
であるから、5が少なくとも2個出て、さらに2の因数が合計で2個以上必要である。
5が4個出る場合は、2の因数がまったくないので不適である。5が3個出る場合、残り1個の目だけで2の因数を2個以上もつ必要があるから、その目は4に限られる。よって 通りである。
5が2個出る場合、残り2個の目は から選ばれる。この2個の順序つきの選び方は 通りである。このうち2の因数が合計で1個以下となるものを除く。2の因数をもたない目は の2個、ちょうど1個もつ目は の2個であるから、不適な選び方は 通りである。したがって適する選び方は 通りである。
以上より、 が100の倍数となる出方は 通りである。求める確率は である。
解法2（母関数で3問を統一して数える）
1個のサイコロについて、出目 は2の因数も5の因数ももたず、 は2を1個、 は2を2個、 は5を1個もつ。したがって、2の指数を 、5の指数を で記録する母関数は
である。4個のサイコロを区別して投げた出方は の各項に対応し、総数は である。
(1)
2の指数を無視するため とおくと
となる。 の次数が2以上の項の係数和は
だから
である。
(2)
5の指数を無視するため とおくと
である。 が4の倍数でないのは、 の次数が0または1の項である。その係数和は
だから
を得る。
(3)
の次数が2以上、かつ の次数が2以上の項を数える。 の項では、残る2個の出目を表す
の全係数和は である。このうち の次数0の係数は 、次数1の係数は なので、次数2以上の係数和は である。よって から 通りを得る。
の項では残る1個が4のときだけ2の指数が2となるので 通り、 の項は2の因数をもたない。したがって
である。