名古屋大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)

取り出した球を戻さない場合，5個の球が出る順番をあらかじめ一列に並べておいたと考えてよい。赤球は3個，白球は2個である。

赤が勝つのは，3個目の赤が出る時点が2個目の白が出る時点より早い場合である。これは，最後に残る球が白である場合と同じである。なぜなら，最後が白ならその前に赤3個がすべて出ており，最後が赤ならその前に白2個がすでに出ているからである。

最後の球が白である確率は ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ である。したがって求める確率は ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ である。

(2)

取り出した球をつねに戻すので，各回で赤が出る確率は$3\mathrm{/}5$，白が出る確率は$2\mathrm{/}5$で変わらない。

赤が勝つ場合，赤3回目が出るまでに白は0回または1回だけ出る。
白が0回の場合は ${\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^3$ である。

白が1回の場合は，最初の3回のうちどこか1回が白で，4回目に赤3回目が出る。白の位置は3通りなので $3\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^3$ である。よって求める確率は$${\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^3+3\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^3={\displaystyle \frac{27}{125}}+{\displaystyle \frac{162}{625}}={\displaystyle \frac{297}{625}}$$である。

(3)

赤は戻し，白は戻さない。赤が勝つには，やはり赤3回目までに白が0回または1回だけ出ればよい。

白が0回の場合，赤が3回続くので ${\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^3$ である。

白が1回だけ出る場合を，白の位置で分ける。最初に白が出ると，その後は赤3個，白1個なので，続く3回が赤である確率は ${\displaystyle \frac{2}{5}}{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^3$ である。2回目に白が出る場合は ${\displaystyle \frac{3}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2$ である。3回目に白が出る場合は ${\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^2\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}$ である。

したがって求める確率は$${\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^3+{\displaystyle \frac{2}{5}}{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^3+{\displaystyle \frac{3}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^2\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}$$である。通分すると$${\displaystyle \frac{864}{4000}}+{\displaystyle \frac{675}{4000}}+{\displaystyle \frac{540}{4000}}+{\displaystyle \frac{432}{4000}}={\displaystyle \frac{2511}{4000}}$$である。

勝敗が決まる直前までに出た赤白の回数を状態として整理する。(1)は最後の1球、(2)(3)は最初の白が出る位置で場合分けして検算する。

(1)
5球の無作為な順列を考える。最後の球が白なら、その前に赤3球が出尽くして赤の勝ち、
最後が赤なら、その前に白2球が出尽くして白の勝ちである。したがって$$\mathrm{Pr}(\text{赤の勝ち})={\displaystyle \frac{2}{5}}\mathrm{.}$$(2)
各回の赤の確率は $3\mathrm{/}5$ である。赤が勝つのは、最初の3回がすべて赤か、
最初の3回に赤2回・白1回が出て4回目が赤の場合である。よって$${\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^3+{}_3{\mathrm{C}}_1{\displaystyle \frac{2}{5}}{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^3={\displaystyle \frac{297}{625}}\mathrm{.}$$(3)
最初の白が出るまでに赤が $j$ 回出たとする。$j=0,1,2$ なら、
その確率は$${\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^j{\displaystyle \frac{2}{5}}$$である。白を1球取り除いた後は赤3球・白1球となるため、第2の白より先に
残り $3-j$ 回の赤が続く確率は$${\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^{3-j}\mathrm{.}$$最初の白より前に赤が3回続く場合も加えて$$\mathrm{Pr}(\text{赤の勝ち})={\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^3+\sum _{j=0}^2{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^j{\displaystyle \frac{2}{5}}{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^{3-j}={\displaystyle \frac{2511}{4000}}\mathrm{.}$$