名古屋大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

$P$の$x$座標を$p$とする。$P$は直線$x+y+1=0$上にあるので，$P=(p,-p-1)$ である。

放物線$y=x^2$の$x=u$における接線は $y=2ux-u^2$ であり，$x=v$における接線は $y=2vx-v^2$ である。2つの接線の交点では $2ux-u^2=2vx-v^2$ であるから，$u\mathrm{\ne }v$として $$x={\displaystyle \frac{u+v}{2}}$$ である。このとき$y=uv$となるので，交点は $({\displaystyle \frac{u+v}{2}},uv)$ である。

したがって $u+v=2p,uv=-p-1$ である。

次に面積を求める。$u<v$としてよい。2接線の交点の$x$座標は$(u+v)\mathrm{/}2$である。$u\leqq x\leqq (u+v)\mathrm{/}2$では上側が放物線 $y=x^2$，下側が接線 $y=2ux-u^2$ であり，その差は $x^2-(2ux-u^2)=(x-u{)}^2$ であるから，面積部分は$(x-u{)}^2$を積分すればよい。同様に右側では$(x-v{)}^2$を積分する。よって$$S={\int }_u^{(u+v)\mathrm{/}2}(x-u{)}^{2}dx+{\int }_{(u+v)\mathrm{/}2}^v(x-v{)}^{2}dx$$である。ここで$${\int }_u^{(u+v)\mathrm{/}2}(x-u{)}^{2}dx={\displaystyle \frac{(v-u{)}^3}{24}},{\int }_{(u+v)\mathrm{/}2}^v(x-v{)}^{2}dx={\displaystyle \frac{(v-u{)}^3}{24}}$$なので $$S={\displaystyle \frac{(v-u{)}^3}{12}}$$ である。

また $$(v-u{)}^2=(u+v{)}^2-4uv=(2p{)}^2-4(-p-1)=4(p^2+p+1)$$ である。$v-u>0$より $$v-u=2\sqrt{p^2+p+1}$$ となるから $$S={\displaystyle \frac{2}{3}}(p^2+p+1{)}^{3\mathrm{/}2}$$ である。 $p^2+p+1=(p+1\mathrm{/}2{)}^2+3\mathrm{/}4$なので，$S$が最小になるのは$p^2+p+1$が最小になるときである。したがって $p=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

2接点の中点と積を交点座標から求め、平行移動・拡大で面積が接点間距離の3乗に比例することを利用する。

$P=(p,-p-1)$ とする。放物線上の接点の $x$ 座標を
$u<v$ とおくと、接線は$$y=2ux-u^2,y=2vx-v^2\mathrm{.}$$その交点は$$({\displaystyle \frac{u+v}{2}},uv)$$だから$$u+v=2p,uv=-p-1.$$ここで接点を $u=0,v=d$ へ平行移動して考える。放物線と接線の差は
左半分で $x^2$、右半分で $(x-d{)}^2$ となるので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^{d\mathrm{/}2}{x}^{2}dx+{\int }_{d\mathrm{/}2}^d(x-d{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{d^3}{12}}\mathrm{.}}\end{array}$$平行移動は面積を変えないから、一般にも $d=v-u$ を代入すればよい。$$d^2=(u+v{)}^2-4uv=4(p^2+p+1)$$より$$S={\displaystyle \frac{2}{3}}(p^2+p+1{)}^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$また$$p^2+p+1={(p+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}$$だから、最小となる $P$ の $x$ 座標は$$p=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$である。